Pas Pythagore et même aire - Solutions

Sur les côtés d'un triangle ABC quelconque on trace les carrés ABDE, BCFG et ACHK.
Montrer que le triangle BDG a même aire que ABC.

Considérons une rotation de 90° de centre B du triangle ABC qui devient alors le triangle DBP, BP = BC = BG.
Les triangles BPD et BGD ont une base égale BP = BG et même hauteur et ont donc même aire. CQFD.
La même méthode avec des rotations de centres A, C, D ou G donne les triangles EAK, HCF, EDN et MGF de même aire itou (frère, s'ils ont même mère)

Montrer : a² + c² = (b² + d²)/2.
B étant le milieu de PG :
DP^> + DG^> = 2 DB^> et DP^> - DG^> = 2 GB^>
en élevant au carré (scalaire) :
4 DB² = DP² + DG² + 2 DP^> . DG^> et
4 GB² = DP² + DG² - 2 DP^> . DG^>
et en additionnant :
4 DB² + 4 GB² = 2 DP² + 2 DG² soit 2 c² + 2 a² = b² + d²
Si ABC est rectangle en B ?
L'angle DBG = 90°, les triangles ABC et DBG sont égaux, b = d et 2(c² + a²) = 2 b², la relation de Pythagore classique.

Condition sur les côtés de ABC pour que NEK alignés ?

Une rotation de 90° de centre D transforme NDE en GDX.
Le triangle XBG est isocèle BG = BX ssi BG = 2 BD, soit a = 2c.
La bissectrice de l'angle XBG est alors perpendiculaire à GX donc parallèle à NE
De même une rotation de EAK autour de A donne YAC et pour BC = 2BA, la bissectrice de YBC est parallèle à EK.
XBG + YBC + 2×90° = 360°, soit XBG/2 + YBC/2 + DBA = 180° et ces bissectrices sont alignées, donc aussi EN et EK.