La tour - solution

En me déplaçant le long de cette route rectiligne, j'observe que cette tour est vue sous un angle de 30°. 100 mètres plus loin, sous un angle de 60°, encore 110 mètres plus loin, sous un angle de 45°
Quelle est la hauteur de la tour ?

h = FA tan(α) = FB tan(β) = FC tan(γ) soit FA = h/tan(α) etc...

Dans le triangle ABF :
AF² = BF² + AB² - 2 AB.BF cos(θ)
et dans le triangle BCF :
CF² = BF² + BC² - 2 BC.BF cos(π - θ)

Soit avec les données de l'énoncé et cos(π - θ) = -cos(θ) :
h²/tg²(α) = a² + h²/tg²(β) - 2.a.h/tg(β) cos(θ)
h²/tg²(γ) = b² + h²/tg²(β) + 2.b.h/tg(β) cos(θ)

L'élimination de cos(θ) entre ces deux équations donne :

h² = (a²b + ab²) / ( b/tg²(α) + a/tg²(γ) - (a+b)/tg²(β) )

et donc h.
Application numérique :
tan²(30°) = 1/3, tan²(60°) = 3, tan²(45°) = 1, donne
h² = 100×110×210/( 110×3 + 100 - 210/3) = 6416.67 et h = 80.10.

Script

a =     b =
α = °   β = °   γ = °

Construction

FA/FB = tg(β)/tg(α)
Construisons un tel point avec MA = x/tg(α) et MB = x/tg(β),
avec une longueur x arbitraire telle que le triangle MAB existe.
C'est à dire MA+MB > AB > |MA-MB|
Les droites d'angle ±β issues de B coupent la droite d'angle α issue de A en U et V ce qui donne les limites pour x.
Une droite quelconque à distance x de AB, dans la zone bleue, donne alors AH = x/tg(α) et BK = x/tg(β), et donc un triangle AMB avec MA/MB = tg(β)/tg(α).
(nota : inverser la construction si α>β)

Les bissectrices de AMB coupent AB en I et J et le lieu de tous les points M avec MA/MB = tg(β)/tg(α) est le cercle de diamètre I J (cercle d'Apollonius).
En fait les points I J étant les limites de validité du triangle AMB sont tout simplement les projections de U et V sur AB.
La construction effective d'un point M particulier est donc inutile pour construire le cercle d'Apollonius.

En recommençant la construction avec BC et γ, l'intersection des deux cercles d'Apollonius donne le point F.
Puis h = FS s'en déduit aisément.