Chaîne de cercles de Steiner

Soit deux cercles C₁ et C₂ intérieur à C₁.
Dans la couronne excentrée entre ces deux cercles, on place un cercle K₁ tangent à C₁ et C₂, puis un cercle K₂ tangent à C₁, C₂ et K₁,
puis K₃ tangent à C₁, C₂ et K₂ ... K_n tangent à C₁, C₂ et K_n-1.

Lieu des centres des cercles K

Les distances du centre d'un cercle K de rayon ρ aux centres des cercles C₁ et C₂ sont r₁ - ρ et r₂ + ρ, leur somme est r₁ + r₂ et le centre de K est sur une ellipse dont les foyers F₁ et F₂ sont les centres des cercles C₁ et C₂, c'est à dire le lieu des points dont la somme des distances à F₁ et F₂ est constante.

Chaîne de Steiner

Dans certains cas, cette chaîne se referme et K_n est aussi tangent à K₁.
Prouver que dans ce cas le choix du premier cercle est indifférent.

Deux cercles ne se coupant pas peuvent toujours être transformés par inversion en deux cercles concentriques :
Soit Δ l'axe radical des deux cercles C₁ et C₂.
Tous les cercles orthogonaux simultanément à ces deux cercles sont centrés sur Δ et coupent la ligne des centres en deux points fixes A et B.
Une inversion de pôle A transforme le faisceau de ces cercles orthogonaux en une famille de droites passant par B', image de B, et orthogonales aux deux images C'₁ et C'₂ des cercles C₁ et C₂. Ces droites sont donc des diamètres de C'₁ et C'₂.
Ces deux images sont alors centrées en B', et donc concentriques.
Nota : On peut choisir librement la puissance d'inversion, par exemple pour conserver le rayon de C₁.

L'ensemble des cercles K est alors inverse de l'ensemble des cercles K', formant une chaîne de Steiner dans deux cercles concentriques. Bien entendu dans deux cercles concentriques ils peuvent tourner librement. CQFD.

Ceci permet de construire aisément des chaînes de Steiner à la règle et au compas :

Tout d'abord construire une chaîne de Steiner dans deux cercles concentriques.
Bien entendu construire dans l'ordre les cercles K' sur un polygone régulier, puis C'₁ englobant le tout et C'₂. Car sinon des cercles C'₁ et C'₂ choisis arbitrairement ne conviendraient sans doute pas !
Choisir un pôle d'inversion I et une puissance k. Ici k est négatif et le cercle d'inversion -k est orthogonal à C'₁ (IS' _|_ O'S'), de sorte que l'image C₁ a même rayon que C'₁, et C₁ est construit comme étant simplement le symétrique de C'₁ par rapport à I.
Les cercles K sont alors construits aisément à la règle : L'image du point de contact T' est l'intersection T de IT' avec C₁
Le centre M de K est l'intersection de OT avec IM'.
Le cercle C₂ est lui aussi obtenu simplement à partir d'un point de contact de C'₂ avec un cercle K'.

En déduire un critère pour qu'une chaîne de Steiner existe

Dans deux cercles concentriques, le critère est simple :
le rayon des cercles de Steiner doit être la moitié du côté d'un polygone régulier, et ce rayon doit aussi être la moitié de la différence des deux rayons des cercles fixés. Ceci conduit à :
ρ/(r₂ + ρ) = sin(π/n) et r₁ = r₂ + 2ρ, et en éliminant ρ et en appelant m = r₁/r₂ :

(r1 - r2)/(r1 + r2) = (m - 1)/(m + 1) = sin(π/n)   Ou encore :  m = r1/r2 = (1 + sin(π/n)) / (1 - sin(π/n))

Si les cercles sont quelconques, il va s'agir de calculer le rapport des rayons des cercles images dans une inversion de pôle l'un des points limite du faisceau défini par les deux cercles fixés.

Tout d'abord la relation entre les rayons de deux cercles inverses.
Le pôle d'inversion est aussi centre d'homothétie des deux cercles et AN/AM = R'/R. L'inversion donne AM.AM' = k et donc AN.AM' = k.R'/R Mais AN.AM' = C'(A) est la puissance de A par rapport à C'. Donc

R'/R = |C'(A)/k| = |k/C(A)|

Ce qui donne le rapport des rayons des cercles images en fonction du rapport des rayons des cercles donnés.

r'1/r'2 = r1/r2 × C2(A)/C1(A)

Le pôle d'inversion A est l'un des points limites A,B du faisceau de cercles défini par C₁ et C₂. Le cercle de diamètre AB est orthogonal aux deux cercles C₁ et C₂. En particulier la division ABM₁N₁ est harmonique et C₁(A) = AM₁.AN₁ = AB.AO₁ qui mène à C₂(A)/C₁(A) = AO₂/AO₁

Soit I le milieu de O₁O₂ et d = O₁O₂ la distance des centres. H ayant même puissance par rapport aux deux cercles, HO₁² - r₁² = HO₂² - r₂² ou encore (HO₁ - HO₂)(HO₁ + HO₂) = 2d.HI = r₁² - r₂²
Soit HO₁ = HI + IO₁ = (r₁² - r₂² + d²)/(2d)

HA = HT et HT² = HO₁² - r₁² permettent finalement d'obtenir AO₁ = HO₁ - HA :

AO1 = [ r1² - r2² + d² - √( (r1² - r2² + d²)² - 4d²r1²) ] / (2d)

Et finalement le critère d'existence d'une chaîne de Steiner si d ≠ 0 :

(si d → 0, le terme compliqué → 1)