Kashikar

Etant donné deux cercles C et C', construire une droite d coupant ces cercles, les 4 points d'intersection formant sur la droite trois segments égaux.

Nous allons tout d'abord rappeler quelques propriétés des faisceaux de cercles, et démontrer le théorème de Kashikar.

Il existe un et un seul cercle d'un faisceau passant par un point donné

La construction de ce cercle est obtenue en construisant le second point J sur une droite MI, M étant sur l'axe radical,
donc MI.MJ = puissance de M par rapport à tous les cercles du faisceau.

Etant donné deux faisceaux de cercles ayant même ligne des centres,   il existe un et un seul cercle commun aux deux faisceaux

Construisons deux cercles Γ et Γ ', orthogonaux respectivement aux cercles des faisceaux (F) et (F').
Le cercle cherché est orthogonal à Γ et Γ ', donc est centré sur l'axe radical de (Γ, Γ ').
Son centre est donc l'intersection de cet axe radical avec la ligne des centres de (F) et (F').
Et finalement il est construit comme orthogonal à Γ (ou Γ ').

Théorème de Kashikar :  Soit une droite d coupant deux cercles C et C' resp. en A,B et A',B'  Les perpendiculaires en ces points à d coupent la droite des centres resp.  en D,E et D',E'. Soient Γ et Γ ' les cercles de diamètres DE et D'E'   Alors l'intersection I de d et de la droite des centres est  sur le cercle commun aux faisceaux de cercles (C, C') et (Γ, Γ ')

Démonstration

Considérons un faisceau de cercles (F), les cercles C, C' donnés faisant partie de ce faisceau. Une droite d coupe la ligne des centres en I et l'axe radical en P.
PA.PB = PA'.PB' = λ = cte pour tous les cercles du faisceau.
Il existe un cercle et un seul du faisceau qui passe par I, soit K ce cercle.
La droite d coupe K en I (bien entendu) et Q, et on a PI.PQ = λ
Projetons perpendiculairement à d tous les points de d sur la ligne des centres :
I reste inchangé, Q se projette en J, autre point d'intersection de K avec la ligne des centres. A,B,A',B' se projettent en D,E,D',E' et enfin P se projette en S.
Toutes les distances projetées sont divisées par cos(θ) et donc SI.SJ = SD.SE = SD'.SE' = λ/cos²(θ) Ceci exprime que le point S a même puissance par rapport à des cercles passant par (I,J), (D,E), (D',E')
et donc en particulier que les cercles de diamètres IJ, DE, D'E' appartiennent à un même faisceau (F'), S étant sur l'axe radical de ce faisceau. CQFD.

Solution générale

On remarque immédiatement que les milieux de AB et A'B' se projettent aux milieux de DE, D'E'
et que, comme milieu d'une corde, se projettent aux centres de C, C'.

 Les centres M et M' des cercles C et C' sont les milieux de DE, D'E' 

Si on construit DED'E' pour former trois segments égaux, le théorème de Kashikar permet de construire le point I, puis la droite d,
DED'E' se projetant en ABA'B' dans le même rapport sur d.

Il y a plusieurs façons de placer DED'E' :

• DE et D'E' se recouvrent : DD' = D'E = EE', alors M = D' et M' = E
• DE et D'E' disjoints : DE = ED' = D'E', M et M' étant les milieux de DE et D'E',
  ceci donne ME = MM' / 4, et les autres points s'en déduisent.
• DE contenu entièrement dans D'E' : alors forcément M = M'. Ce cas particulier sera traité à part.

Soient Γ et Γ ' les cercles de diamètres DE et D'E'.
Il faut alors construire le cercle K commun aux deux faisceaux (C, C') et (Γ, Γ ')
Comme donné en prologue, ceci s'obtient en construisant les axes radicaux. Celui de (Γ, Γ ') est particulièrement simple : c'est la médiatrice de MM', puisque Γ et Γ ' sont égaux. Celui de (C, C') est immédiat si ces deux cercles se coupent, sinon il faut utiliser la méthode du centre radical :
Un cercle quelconque (γ) est tracé, coupant C et C' en U,V, U'V'. UV est l'axe radical de C et γ, U'V' celui de C' et γ, le point d'intersection de ces deux axes radicaux est le centre radical de (C, C', γ), il est donc sur l'axe radical de (C, C'), et comme celui-ci est perpendiculaire à MM', il est ainsi déterminé.

On construit alors deux cercles C" et Γ ", centrés sur ces axes radicaux, l'un orthogonal à C et C', l'autre orthogonal à Γ et Γ '. Rappelons que pour construire un cercle de centre O orthogonal à (C), on trace le cercle de diamètre OM, il coupe (C) en U, le cercle de centre O passant par U est orthogonal à (C).
L'axe radical de ces cercles C" et Γ " est alors construit, il coupe MM' en K, centre d'un cercle orthogonal à C", donc appartenant au faisceau (C, C'), et orthogonal à Γ ", donc appartenant au faisceau (Γ, Γ ').
Le cercle commun cherché est donc le cercle de centre K, orthogonal au cercle C" (et Γ "). Il coupe MM' en I et J, intersections possibles de d avec MM'. Comme IAD (resp JAD) est un angle droit, A s'obtient comme intersection du cercle de diamètre ID avec C. La droite d = IA est ainsi déterminée.
On peut tout aussi bien choisir de construire B comme intersection du cercle de diamètre IE avec C, ou bien A' ou B' sur C' (ici c'est B' qui est construit).
Et bien entendu la solution symétrique.
Le point J peut donner une autre paire de solutions. Donc 0, 2 ou 4 solutions.
Le cas ci-dessus est seulement ME = MM' / 4.
Dans le cas E = M', bien que la même construction fonctionne, il y a beaucoup plus simple :

Cas simplifié

Si les cercles C et C' se coupent en U et V, ainsi que les cercles Γ et Γ ' en X et Y, la construction se simplifie énormément. Ceci ne peut se produire que si DE et D'E' se recouvrent.
Les cercles Γ et Γ ' étant alors de centre M et M' et de rayon MM', le triangle MM'X est équilatéral. Les axes radicaux sont alors les droites UV et XY, le cercle K est construit de façon expéditive : cercle centré sur la ligne des centres et passant par U et X, donc centré sur la médiatrice de UX.
Il donne alors les points I et J, en appellant I celui tel que le segment M'I coupe C.
La suite comme ci-dessus : Le cercle de diamètre M'I coupe C en B.
La droite d est la droite IB. Et bien sûr la solution symétrique avec le deuxième point d'intersection des cercles C et de diamètre M'I.
Le cercle de diamètre ID coupe C en A, le cercle de diamètre IM coupe C' en A', et le cercle de diamètre IE' coupe C' en B'. On choisit A,B,A' ou B' pour avoir la meilleure précision sur la droite d.

Cas particuliers

Les constructions précédentes échouent si certains cercles sont confondus, ou certaines lignes sont parallèles ou confondues. Les points d'intersection devenant alors indéterminés, ou rejetés à l'infini.

Cercles égaux

Le cercle K est alors la médiatrice de MM', et I J sont l'un le point à l'infini (d parallèle à MM'), l'autre le milieu de MM'.
Le cas de d parallèle à MM' se résoud directement, en projetant DED'E' sur C et C'
Le cas I milieu de MM' se poursuit comme précédemment en construisant l'intersection du cercle de diamètre ID (resp. IE, ID', IE') avec C (resp. C') pour obtenir A (resp. B, A', B').

Le cas AB et A'B' se recouvrant (donc C et C' se coupent) donne de même :

Rayon = MM'/4

Le cercle Γ est alors égal et superposé à C (resp. Γ ', C') et est donc directement le cercle commun aux deux faisceaux. I et J sont donc les extrémités du diamètre de C sur MM'.
La suite comme ci-dessus, sauf que le cercle de diamètre ID n'existe pas (I=D) et que celui de diamètre IE est confondu avec C (J=E). Il faut donc construire A' ou B' pour déterminer d.

Autres solutions

Les solutions obtenues ci-dessus dépendent toutes du théorème de Kashikar.
Il existe un cas où ce théorème ne s'applique pas : si d est perpendiculaire à la ligne des centres.
Si les cercles C et C' ont une partie commune, il existe de telles solutions (avec d _|_ MM').

Sur d on a IA' = 3.IA
Soit O le pied de l'axe radical de (C, C'), intersection de cet axe avec la ligne des centres MM'.
Appelons R et R' les rayons de C et C' et posons OM = d, OM' = d', OI = x.
IA² = R² - IM² = R² - (d - x)² et IA'² = R'² - IM'² = R'² - (d' - x)²
Avec IA'² = 9.IA², ceci donne x comme solution de l'équation : 8x² - 2(9.d - d').x + [9.d² - 9.R² - (d'² - R'²)] = 0
La demi somme des racines est (9.d - d')/8 = d + (d - d')/8
Comme d² - R² = d'² - R'² = p, puissance de O par rapport à tous les cercles du faisceau, le produit des racines est tout simplement p.
Le cercle de diamètre IJ fait donc partie du faisceau (OI.OJ = p) et est centré au point d + (d - d')/8 soit au point K avec MK = - MM'/8
La construction du cercle du faisceau, centré en K, donne alors les deux solutions éventuelles I et J
Pour que ces points soient solution, il faut qu'ils soient dans la partie commune aux deux cercles C et C' (sinon d ne coupe pas les deux cercles).
L'échange de C et C' donne éventuellement une autre paire de solutions, à partir du cercle du faisceau, centré en K' avec M'K' = - M'M/8

Là aussi, si C et C' se coupent en U (et V), la construction du cercle du faisceau est immédiate : cercle de centre K passant par U.
Sinon le plus rapide est de le construire comme orthogonal à un cercle C" du faisceau orthogonal (centré sur l'axe radical).

Si C et C' concentriques, la construction échoue car la droite MM' n'est pas définie, ni l'axe radical.
On ne peut plus construire le 'cercle du faisceau' centré en K car tous les cercles concentriques font partie du faisceau.
O étant en M, l'équation donnant x devient (d = d' = 0) : 8x² = 9R² - R'², et x est construit directement par le théorème de Pythagore.
On choisit une droite quelconque passant par O (les solutions sont déterminées à une rotation près)
On construit OU = 3.R, et V intersection du cercle de diamètre OU avec C'. Le triangle rectangle UVO donne UV² = 9R² - R'²
On complète le carré TUVW (on reporte VW = VU sur VO) et on construit UX = UW/4 = UV/√8
UX donne la valeur de x, et donc OI = UX

En résumé, une applet affichant toutes les solutions :
le cercle C' est contraint, sans perte de généralité, à R' > R et strictement "à droite" de C.
Les cas R' = R ou cercles concentriques nécessiteraient des constructions spécifiques.
Les points bleus font varier les rayons.