En deux

Couper un triangle quelconque, par une ligne droite, en deux parties de mêmes aires et de mêmes périmètres.

On a donc CM.CN = CA.CB/2
et CM + CN + MN = MN + MA + AB + BN
soit CM + CN = (AB + BC + AC)/2
Le problème revient donc à trouver CM et CN connaissant le produit p = CA.CB/2 et la somme, s = (AB + BC + AC)/2
CM et CN sont alors solutions de l'équation x² - s.x + p = 0

Fichier Geogebra Construisons CA' = CA et CP = CB/2, P milieu de BC.
Construisons CS = s/2 = (AB + BC + AC)/4, quart du périmètre de ABC.
La perpendiculaire en S à AC et la médiatrice de PA' se coupent en O, centre d'un cercle passant par P et A'. Ce cercle coupe AC en X et X' et on a :

CX + CX' = 2.CS (corde XX') = (AB + BC + AC)/2
CX.CX' = CP.CA' (puissance de C) = CA.CB/2

Les longueurs CX et CX' sont donc les CM, CN cherchés, que l'on reporte sur AC et BC à partir de C. La solution n'existe que si M et N sont intérieurs aux côtés AC et BC.

On recommence la même construction à partir des sommets A et B pour obtenir jusqu'à 6 solutions. Il y a en fait au maximum 3 solutions parmi les 6 candidats ainsi construits.
Il y a toujours au moins une solution.

Propriétés

Dans le cas où il y a effectivement 3 solutions, elles sont concourantes.

Soit I le point d'intersection de MN avec la bisectrice de l'angle C.
Les distances de I aux côtés, c'est à dire les hauteurs des triangles ICM et ICN, sont égales. Soit h cette distance.
L'aire de ICM est donc CM.h/2, celle de CNI est CN.h/2, et donc l'aire de CMN est h.(CM + CN)/2
Comme CM + CN = p, 1/2 périmetre de ABC :
aire(CMN) = p.h/2 = aire(ABC)/2 = p.r/2, en appelant r le rayon du cercle inscrit de ABC.
On en tire h = r et donc I est le centre du cercle inscrit.

 MN passe par le centre du cercle inscrit 

S'il y a plusieurs solutions, les droites MN sont donc concourantes en I.


Une autre conséquence est que le problème peut être reformulé ainsi :
couper le triangle en deux aires égales par une droite passant par I.
Ce qui est le problème du partage du champ, avec le puits en I.
Les conclusions générales de ce problème là peuvent donc s'appliquer ici aussi : il y a toujours une solution. Selon la position de I, il y a 1 ou 3 solutions :

 

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