On a donc CM.CN = CA.CB/2
et CM + CN + MN = MN + MA + AB + BN
soit CM + CN = (AB + BC + AC)/2
Le problème revient donc à trouver CM et CN connaissant le produit p = CA.CB/2 et
la somme, s = (AB + BC + AC)/2
CM et CN sont alors solutions de l'équation x² - s.x + p = 0
Construisons CA' = CA et CP = CB/2, P milieu de BC.
Construisons CS = s/2 = (AB + BC + AC)/4, quart du périmètre de ABC.
La perpendiculaire en S à AC et la médiatrice de PA' se coupent en O, centre d'un cercle
passant par P et A'.
Ce cercle coupe AC en X et X' et on a :
CX + CX' = 2.CS (corde XX') = (AB + BC + AC)/2
CX.CX' = CP.CA' (puissance de C) = CA.CB/2
Les longueurs CX et CX' sont donc les CM, CN cherchés, que l'on reporte sur AC et BC à partir de C. La solution n'existe que si M et N sont intérieurs aux côtés AC et BC.
On recommence la même construction à partir des sommets A et B pour obtenir jusqu'à 6 solutions.
Il y a en fait au maximum 3 solutions parmi les 6 candidats ainsi construits.
Il y a toujours au moins une solution.
Soit I le point d'intersection de MN avec la bisectrice de l'angle C.
Les distances de I aux côtés, c'est à dire les hauteurs des triangles ICM et ICN, sont égales.
Soit h cette distance.
L'aire de ICM est donc CM.h/2, celle de CNI est CN.h/2, et donc l'aire de CMN est h.(CM + CN)/2
Comme CM + CN = p, 1/2 périmetre de ABC :
aire(CMN) = p.h/2 = aire(ABC)/2 = p.r/2, en appelant r le rayon du cercle inscrit de ABC.
On en tire h = r et donc I est le centre du cercle inscrit.
MN passe par le centre du cercle inscrit
S'il y a plusieurs solutions, les droites MN sont donc concourantes en I.