Triangles

Construire un triangle ABC étant données les médianes m_a, m_b et m_c.

Lemme

Etant donné un triangle ABC, les médianes peuvent former un triangle.
C'est à dire satisfont aux inégalités triangulaires : |m_b - m_c| < m_a < m_b + m_c

Copions le parallélogramme AMbMaMc par une translation de vecteur AMc^> pour obtenir le parallélogramme McMaUB.
Donc McU^> = AMa^>
De plus BU^> = McMa^> = MbC^>
CU est donc l'image de MbB dans la translation de vecteur MbC^>
Les côtés du triangle McCU sont donc égaux aux médianes de ABC. CQFD.

L'intersection I des diagonales de McMaUB est le milieu de McU, donc BC est la médiane du triangle McCU
J étant le milieu de McC, Ma est le centre de gravité du triangle McCU.

Nota :
Les médianes de McCU vallent donc les 3/4 des côtés de ABC.
Si on recommence cette même construction à partir de McCU, on obtient un triangle semblable à ABC dans le rapport 3/4
L'aire de McCI, moitié de celle de McCU, est les 3/4 de celle de McCB (CI = 3/4 CB), qui est la moitié de celle de ABC, donc :

 Aire(McCU) = 3/4 aire(ABC) 

Construction

Réciproquement, il est alors immédiat de construire le triangle McCU ayant pour côtés les médianes données, et d'en déduire ABC :
Soit Ma le centre de gravité de McCU, intersection des médianes UJ et CI.
B symétrique de C par rapport à Ma, A symétrique de B par rapport à Mc