Triangles
Construire un triangle ABC étant données les hauteurs ha, hb et hc.
a.ha = b.hb = c.hc (= 2S) et donc les côtés sont inversement proportionnels aux hauteurs
Il "suffit" donc de construire un triangle de côtés 1/ha, 1/hb, 1/hc,
et d'effectuer une homothétie pour obtenir un triangle semblable ayant la hauteur voulue.
On se choisit arbitrairement une longueur unité, et on construit
xa/1 = 1/ha (par Thalès), et de même xb, xc et on construit le triangle AUV
de côtés AU = xc, AV = xb et UV = xa, puis le triangle semblable ayant pour hauteur hc.
Le problème n'est soluble que si 1/ha, 1/hb et 1/hc peuvent former un triangle AUV,
donc satisfont aux inégalités triangulaires
|1/ha - 1/hb| < 1/hc < 1/ha + 1/hb
Amélioration
Au lieu de choisir une unité quelconque, on peut la choisir pour simplifier la construction, et n'avoir qu'une seule u²/h à construire.a.ha = b.hb = c.hc donne après division par u² = ha.hb : a/hb = b/ha = c/(ha.hb/hc) ou en d'autre termes a, b, c proportionnels à hb, ha, ha.hb/hc
On construit donc AM = ha.hb/hc, puis un triangle AME avec AE = ha, ME = hb, enfin le triangle semblable ABC de hauteur hc.
Autre méthode
Une autre construction de 1/ha, 1/hb, 1/hc, particulièrement élégante et expéditive
(proposée par Armin Saam).
Sur trois droites quelconques issues de P portons les distances PXa = ha, PXb = hb, PXc = hc.
Construisons le cercle circonscrit à XaXbXc, il recoupe ces mêmes droites en Ya, Yb, Yc.
Alors PXa.PYa = PXb.PYb = PXc.PYc et donc les côtés du triangle ABC cherché sont
proportionnels à PYa, PYb, PYc.
En d'autre termes, ABC est semblable à un triangle de côtés PYa, PYb, PYc.
Ici les droites sont choisies perpendiculaires pour faciliter la construction
(par réutilisation de points déja construits).
En particulier Yb = Xa = ha et Ya = Xb = hb. Yc a été rebaptisé U.
On construit alors le triangle AVS de côtés AV = AU,
AS = AYb = ha, VS = AYa = hb.
Le triangle ABC semblable est alors construit par C = intersection de
AS avec la parallèle à AV à distance hc, puis CB // SV.
