Triangles

Construire un triangle ABC étant données les hauteurs h_b, h_c et la médiane m_a.

La hauteur de AMaB est la moitié de celle de ACB, soit h_c/2
De même la hauteur de AMaC est h_b/2
Sur la médiane AM_a (= m_a donnée) comme hypothénuse, on construit les triangles rectangles AM_aU avec M_aU = h_c/2 et AM_aV avec M_aV = h_b/2
AU et AV sont donc les droites des côtés AB et AC.
(AV) coupe la parallèle à distance h_c de (AU) en C
B est le symétrique de C par rapport à M_a

2 solutions (U,V du même côté ou non de AMa),
bien sûr si m_a > h_b/2, h_c/2

Bonus : étant données h_a, h_b et m_a

h_a m_a définissent le triangle rectangle AH_aM_a.
2M_aC.h_a = BC.h_a = AC.h_b donne AC/M_aC = 2h_a/h_b
Le point C est donc sur le cercle, lieu des points CA/CM_a = constante, donc à l'intersection de la droite H_aM_a et de ce cercle.
Une construction possible de ce cercle :
Construire les points I et J divisant AMa dans le rapport 2h_a/h_b = h_a/(h_b/2)
Le cercle est le cercle de diamètre IJ.

2 solutions, si m_a > h_a et h_b "pas trop grand" (h_b < 2h_a est toujours OK)
Si h_b = 2h_a, le cercle devient la médiatrice de AM_a et une seule solution.