Sangaku

Dans un triangle isocèle ABC séparé en trois triangles par une sécante AD et la perpendiculaire BH à AD, les trois cercles inscrits dans chacun des trois triangles sont égaux, de rayon r.

Il est évident que les deux triangles rectangles ABH et DBH sont égaux.
Posons donc AB = BD = c, HA = HD = x, BH = h, CD = y.

Les triangles ABH et DBH rectangles donnent x² + h² = c² [1]
L'angle CBK = 2 DBH = 2α donne avec tg(α) = x/h
  cos(2α) = BK/BC = c/(2(c+y)) = (1 - tg²(α))/(1 + tg²(α)) = (h² - x²)/(h² + x²) [2]
La formule de Heron donne le rayon du cercle inscrit dans un triangle de côté a,b,c, avec p = (a+b+c)/2 :

r = (p-a)(p-b)(p-c)/p    ou encore 4r² = (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)/a+b+c)
appliquée aux triangles ABH = DBH et ACD :
   4r² = (c+x-h)(c-x+h)(x+h-c)/(c+x+h) [3]
et 4r² = (c+2x)(c-2x+2y)(2x-c)/(c+2x+2y) [4]
En éliminant c, x et y entre ces 4 relations, on obtient une relation entre r et h. Après des calculs pénibles, ou par "divination" on obtient :

    h = 4r 

On "remarque" que cette relation est linéaire. Ceci était "évident" dès le départ :
Si on cherche à construire le triangle ABC à partir de r, en multipliant r par k on obtient bien entendu une figure homothétique dans le rapport k.
Restait à "voir" que le coefficient de proportionalité est 4 !
Ceci peut se "deviner" en jouant avec la construction de ABC à partir de r dans un logiciel de géométrie.

Fichier Geogebra L'applet construit ABC à partir de r = 1 et des deux cercles de centre I1 et I2 tangents aux droites ad et hb fixées.
B draggable choisit la valeur de BH = h.
Les triangles BHA et BHD sont alors construits par les tangentes aux cercles issues de B.
Le point C est ensuite l'intersection de BD avec la médiatrice de AB.
Le centre du 3ème cercle est donc l'intersection de
- la parallèle à AD à distance r
- la parallèle à BD à distance r (passant par I2)
- la médiatrice de AB
On n'a une solution que si ces trois droites sont concourantes en un même point ! Ce qui n'a "visiblement" lieu que pour h ≈ 4...

Ah ! La flemme de faire des calculs...

On obtient alors toutes les dimensions de la figure en remontant les relations précédentes.
Déja [1] et [3] donnent x:h:c:r = 3:4:5:1 (comme c'est bizarre...)
On a alors tg(α) = x/h = 3/4 et donc tg(2α) = CK/BK = 2tg(α)/(1 - tg²(α)) = 24/7 et par conséquent le triangle BCK est proportionnel à 7:24:25
Comme BK = AB/2, on peut prendre le PPCM de 5 et 7 comme valeur de BK ce qui donne AB = 70
On en déduit alors successivement toutes les autres valeurs, par homothétie des deux triangles de Pythagore (3:4:5)×14 et (7:24:25)×5 précédents.

 AB = BD = 14×5 = 70 
 BH = 14×4 = 56 
 AH = HD = 14×3 = 42, et donc AD = 2AH = 84 
 r = 14×1 = 14 

 AC = BC = 5×25 = 125, et donc CD = 55 
 (BK = 5×7 = 35, CK = 5×24 = 120)

La "divination" n'étant pas une science exacte, les calculs précédents ne sont pas une démonstration.
Mais il suffit de vérifier que ces valeurs sont bien solution en les portant dans les relations [1] à [4] pour prouver la relation h/r = 56/14 = 4.
En fait les relations [1] = triangle 3:4:5, [2] triangle 7:24:25 et [3] r dans 3:4:5 sont vérifiées "par construction", et il suffit de vérifier la relation [4].
C'est à dire de calculer le rayon du cercle inscrit dans un triangle de côtés 125, 84, 55 :
4r² = (125+84-55)(125-84+55)(84+55-125)/(125+84+55) = 154×96×14/264 = 784 = 4×14² CQFD.

Et la construction générale (sans commentaire) de la figure à partir d'un triangle ABH de côté 3r, 4r, 5r.

 

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