Tour de cartes

Faire choisir une carte n'importe où dans un jeu de 21 cartes.
Distribuer carte par carte en 3 tas et demander dans quel tas elle se trouve
Ramasser les tas en plaçant celui indiqué au milieu
Recommencer 2 autres fois la même opération
La carte choisie est alors la 11ème carte !

Soit u le rang de la carte dans le jeu
En distribuant cette carte devient au rang q du paquet r avec u = 3q + r
En ramassant elle vient au rang 7 + q dans le jeu
Soit la suite u(n+1) = 7 + E[un/3]
L'étude de cette suite montre qu'elle converge en au plus trois tours vers u3 = 10, quel que soit la valeur de u0, rang initial de la carte dans le jeu.
Exemples :
u0 = 19, u1 = 13, u2 = 11, u3 = 10
u0 = 0, u1 = 7, u2 = 9, u3 = 10

Généralisations

Soit un jeu de 32 cartes. 32 = 8×4 est la seule répartition en tas à envisager soit 4 tas de 8 cartes.
Comme 4³ = 64 > 32, 3 tours suffisent. Mais là, plus question de tas du milieu puisqu'il y a un nombre pair de tas !
On peut ramasser deux tas quelconques puis le tas indiqué puis le dernier dessous.
Soit la suite u(n+1) = 8 + E[un/4], et u = 10 est une position stable vers laquelle converge la suite en 3 tours au plus.

Mais on peut aussi ramasser les tas de façon plus compliquée :
Au premier tour ramasser le tas indiqué en premier, et les trois autres dessous.
Soit u1 = 24 + E[u0/4]

Au deuxième tour le ramasser en second, les deux derniers dessous
u2 = 16 + E[u1/4]

Au troisième tour ramasser deux tas, le tas indiqué et le dernier dessous
u3 = 8 + E[u2/4]
Et là, cette suite converge vers u3 = 13

Précision sur les distributions/ramassages :
Le jeu est tenu côté dos visible, chaque carte est retournée et empilée face visible dans une colonne.
On ramasse les paquets faces visibles en les empilant :
le 1er paquet est ramassé, puis le deuxième paquet est empilé dessous etc...
On retourne le jeu et on recommence.

Ceci donne une nouvelle généralisation encore plus bluffante :
Faire choisir une carte dans un jeu de 32.
Demander un rang
Faire trois tours de distribution/ramassage en 4 paquets.
La carte choisie est au rang imposé par le spectateur !

Il suffit de choisir judicieusement l'ordre de ramassage des paquets à chaque tour.
Définissons an le nombre de paquets mis dessous lors du tour n+1.
Notre suite s'écrit alors u(n+1) = 8 an + E[un/4]
Pour simplifier nous noterons a0a1a2 la liste des ordres de ramassage. Ainsi les cas donnés en exemple ci-dessus correspondent à 111 qui donne la 11ème carte (u = 10) et à 321 qui donne la 14ème carte (u = 13)
Une analyse de toutes les configurations de ramassage possible donne la correspondance.
Mais en fait il suffit de convertir 2u en base 4 pour obtenir a2a1a0, la liste des rangs de ramassage dans l'ordre inverse.
Donc a0 est le reste de la division de 2u par 4, le quotient étant q.
Puis a1 est le reste de la division de q par 4 et le quotient a2.

Par exemple si on veut que la carte soit la 18ème, rang u = 17.
2u = 34 = 8×4 + 2, a0 = 2
8 = 2×4 + 0, a1 = 0, a2 = 2

Nota : on peut tout aussi bien utiliser 2u + 1 ce qui donne 302 au lieu de 202, avec le même rang final.

Cette technique peut être généralisée avec plus ou moins de cartes mais ne marche pas toujours !
Par exemple cela ne fonctionne pas avec 21 cartes : Il est impossible d'obtenir les rangs
1 2 4 5 8 9 11 12 15 16 18 19
Seuls les rangs de la forme 7p + 3q sont possibles, avec les ramassages "qqp".
Par exemple 10 = 7+3 donne 111 (le tour classique de la 11ème carte)
13 = 7 + 2×3 donne 221 et la 14ème carte :
  ramasser le paquet indiqué et les deux autres dessous lors des deux premiers tour,
  ramasser le paquet indiqué au milieu lors du dernier tour.

Quelques résultats

Jeu de 21 cartes : 3 tours de 3 paquets de 7 cartes Démo
Rang final u = 7p + 3q, ramassages = qqp

Jeu de 27 cartes : 3 tours de 3 paquets de 9 cartes Démo
Rang final u quelconque, ramassage = u en base 3, poids faibles d'abord.

Jeu de 32 cartes : 3 tours de 4 paquets de 8 cartes Démo
Rang final u quelconque, ramassage = 2u ou 2u+1 en base 4, poids faibles d'abord.

Jeu de 52 cartes : 3 tours de 4 paquets de 13 cartes Démo
Rang final u = 13p + 4q, ramassages = qqp

Jeu de 54 cartes : 4 tours de 3 paquets de 18 cartes
(Un jeu de 52 + deux jokers, pas de démo prévue)
Rang final u quelconque, a/2 = u (mod 2) soit a = {0,2}, dcb = [u/2] en base 3, ramassages = abcd

Jeu de 64 cartes : 3 tours de 4 paquets de 16 cartes Démo
(un jeu de Tarot sauf une couleur)
Rang final u quelconque, ramassage = u en base 4, poids faibles d'abord.

Jeu de 75 cartes : 3 tours de 5 paquets de 15 cartes Démo
(un jeu de Tarot sauf les trois bouts)
Rang final u quelconque, a/2 = u (mod 3) soit a = {0,2,4}, cb = [u/3] en base 5, ramassages = abc.

Jeu de 80 cartes : 3 tours de 5 paquets de 16 cartes Démo
(un jeu de Tarot plus deux jokers)
Rang final u = 8p + 4q + e, e = 1 si p pair, 0 si p impair
a = x[p] + 3q modulo 125, en base 5, poids faibles d'abord.
avec x[p] = [124,13,24,38,49,63,74,88,99,113]

Et un programme pour calculer avec un nombre quelconque de cartes.

 

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