Pi litres

Source : rec.puzzles, "Pi Gallons" by KBob
On donne 2 récipients de même hauteur, l'un contenant 3 litres, l'autre 4 litres.
Measurer 22/7 litres dans le récipient de 4 litres.
Nous supposerons ici :
Les récipients sont parallèlepipèdiques, et transparents.
On autorise seulement 2 transvasements, tout ce qui déborde est perdu, on n'a que ces récipients, ni balances, ni aucun autre instrument de mesure, ni crayon pour faire des marques sur les récipients etc.

Méthode

(Par Ilan Mayer in ibidem)

1. Incliner le récipient de 3 litres jusqu'à ce que la surface touche le fond.
   A ce moment il reste 1.5 litres dans ce récipient et 5.5 litres en tout.

2. Verser du récipient de 4 litres dans le récipient de 3 litres jusqu'à ce que le niveau soit le même dans les deux récipients.
   A ce moment le récipient de 4 litres contient 5.5*4/7 = 22/7 litres ≈ 22/7 = 3.1428..., une bonne approximation de π

Génial. Mais le problème est la seconde étape. Il est impossible de verser du récipent de 4 litres dans celui 3 litres tout en comparant les niveaux.

Inclinaison

Une méthode pourait être d'incliner les deux récipients et verser l'un dans l'autre par leur bords joints. L'inconvénient est qu'il est impossible de maitriser les angles.
On peut ainsi obtenir n'importe quelle valeur dans le récipient de 4 litres, entre 2.5 et 4 litres, selon les angles d'inclinaison.

Supposons les récipients rectangulaires, de hauteur H, de profondeur L et de largeur 3 et 4, de sorte que 3*L*H=3 litres et 4*L*H=4 litres.
Inclinons les des angles α et β (différents, et inconnus), de sorte que le volume total soit constant. Donc le volume vide aussi.
C'est à dire (3x+4y)*L=3*L*H/2=1.5 litres = la moitié du récipient de 3 litres. On cherche alors la condition x=y (même niveau dans les deux récipients)
Ceci donne 7x*L=3*L*H/2 et x=y=3*H/14.
D'où on tire tg(α)=2x/3=H/7 et tg(β)=2y/4=3*H/28
On voit alors que les angles d'inclinaison dépendent de la forme exacte (rapport H/L, ou même pire si les deux récipients ont des L différents, ou pas rectangulaires) et que ces angles sont différents.

Si on avait un objet de même largeur=4 que le récipient de 4 litres, la méthode suivante fonctionnerait :
Attacher l'objet au récipient de 3 litres et incliner l'ensemble.
Verser depuis le récipient de 4 litres dans celui de 3 en ajustant l'angle d'inclinaison de l'ensemble objet+récipient de 3 litres, de sorte que le niveau dans le récipient de 3 litres touche le bord B et soit aligné avec le bord A de l'objet.
A ce moment l'inclinaison du récipient de 3 litres est tg(α)=H/(4+3)=H/7 et ce récipient contient la bonne quantité. Donc celui de 4 litres aussi.

La méthode utilisant le récipient de 4 litres lui même comme objet auxiliaire ne fonctionne pas.
2y = (2x) *4/3 montre que trop de liquide a été versé en dehors du récipient de 4 litres, cette quantité débordant du récipient de 3 litres est perdue.

Méthode itérative

On peut bien sûr verser une petite quantité, vérifier le niveau, en verser plus ou en reprendre selon etc.. Mais le nombre de transvasements est indéterminé. Certainement pas deux.

Siphon

On peut relier les deux récipients par un siphon, les niveaux s'ajustent alors automatiquement. Le volume du siphon doit être négligeable (tuyau très fin).
Bon, un siphon n'est pas un "instrument de mesure"...