Effet AHA

Il est immédiat de calculer, à partir des angles donnés, l'angle ADB = 180° - 60° - 20° - 50° = 50°, et l'angle ACB = 180° - 60° - 50° - 30° = 40°.
Reste maintenant à trouver l'angle x...

La méthode générale (pour une valeur quelconque des angles en A et B) est indiquée plus loin.
Ici, les valeurs particulières des angles donnés permettent une méthode bien plus simple, une fois qu'on a l'indice :
Tracer E sur BC avec l'angle BAE = 20°.

On "voit" immédiatement que le triangle ABD est isocèle (car les angles B = D), donc AB = AD.
Et aussi, l'angle CAE = 60° - 20° = 40°, donc le triangle ACE est isocèle et AE = EC.
L'angle AEB = 180° - 20° - 50° - 30° = 80° montre que le triangle AEB est isocèle, donc AB = AE.
Comme l'angle DAE = 20° + 60° - 20° = 60° et AE = AD, le triangle AED est équilatéral, et donc l'angle DEA = 60° et DE = AE.
Ceci permet de calculer l'angle DEC = 180° - 80° - 60° = 40°.
Comme DE = EC, le triangle CDE est isocèle, donc les angles en C et D sont égaux à (180° - 40°)/2 = 70°
On obtient alors x = 70° - 40° = 30°
Le dernier angle inconnu en D est obtenu dans le triangle BCD : 180° - 30° - 70° = 80°

Cette solution est due à C. Tripp dans "the mathematical gazette" vol. 59 (1975)
Elle ne fonctionne que grace aux valeurs particulières des angles.
Il existe d'autres solutions "AHA", c'est à dire en utilisant diverses astuces évitant de calculer des fonctions trigonométriques. 9 solutions d'après "cut-the-knot"

La méthode dure...

Pour une méthode générale, sans le "AHA" du point E, ou d'autres valeurs d'angles :
Le théorème des sinus dans le triangle ACD donne CD/AD = sin(20°)/sin(x)
Dans le triangle ABD : AD/BD = sin(50°)/sin(80°)
Dans le triangle BCD : BD/CD = sin(40°+x)/sin(30°)

En multipliant ces trois relations, on obtient :
1 = sin(20°)/sin(x) × sin(50°)/sin(80°) × sin(40°+x)/sin(30°)
Cette équation en x peut être résolue en calculant tan(x).
Comme il n'y a pas d'expression simple des sin/cos de 20°, 50° etc... on doit la résoudre numériquement, ou trouver une astuce pour éviter ces valeurs...

En utilisant une autre chaîne de sinus, pour profiter du AB = AD, ce n'est pas beaucoup plus simple, mais finalement évite de connaître les valeurs des sin/cos :
Dans le triangle ABC : sin(80°)/AC = sin(40°)/AB
Dans le triangle ACD : sin(x)/AD = sin(160°-x)/AC (l'angle ADC = 180° - 20° - x)
Comme AB = AD, on obtient sin(80°)/sin(40°) = sin(160°-x)/sin(x)
sin(160°-x) = sin(160°)cos(x) - cos(160°)sin(x), puis sin(80°) = 2sin(40°)cos(40°) donnent finalement :
tan(x) = sin(160°)/(2cos(40°) + cos(160°))
Comme sin(160°) = sin(180° - 160°) = sin(20°) et cos(160°)= - cos(180° - 160°) = - cos(20°), on obtient :
tan(x) = sin(20°)/(2cos(2×20°) - cos(20°))
L'astuce est maintenant de poser z = cos(20°)
cos(3u) = 4cos³(u) - 3cos(u) donne que z = cos(20°) = cos(60°/3) est solution de 8X³ - 6X - 1, donc :
tan²(x) = (1 - z²)/(4z² - z - 2)² = (1 - z²)/(-3z² + 3) = 1/3 (on a remplacé 8z³ par 6z + 1 et 8z⁴ = z×8z³ = 6z² + z)
Donc tan(x) = √3 / 3, et x = 30° (méthode due à A. Pichereau)
Cette méthode ne marche que pour ces valeurs spécifiques, donnant AB = AD et un grand nombre de 20° et multiples.
Avec des valeurs d'angles quelconques, on ne peut éviter la méthode générale et les valeurs numériques des sin/cos des angles "bizarres" donnés.

Autre example

Annexe - cas général

En l'absence de AHA, comme indiqué ci dessus, on ne peut que résoudre l'équation trigonométrique donnant x = ACD
Appelons a1, a2, b1, b2, c1, c2 = x, d1, d2 les angles dans le quadrilatère
a1, a2, b1, b2 sont donnés et on cherche c1, c2, d1, d2.
Bien sûr immédiatement c1 = 180° - (a2 + b1 + b2) et d2 = 180° - (a1 + a2 + b1)
Reste à résoudre l'équation obtenue comme ci-dessus, qui s'écrit dans le cas général :
1 = sin(a1)/sin(x) × sin(b1)/sin(a1 + a2) × sin(c1 + x)/sin(b2)
Qui après développement de sin(c1 + x) donne finalement

tan(x) = sin(a1)sin(b1)sin(c1) / (sin(a1 + a2)sin(b2) - sin(a1)sin(b1)cos(c1))

Un script pour calculer cette valeur (angles en degrés) :

a1 =    a2 =
b1 =    b2 =