La mouche et l'araignée
Verre cylindrique
Le diamètre du verre est de 6cm, sa hauteur est de 8cm (pas très utile en fait).La mouche est à l'intérieur, à 1cm du bord. L'araignée, à l'extérieur, à 2cm du bord et diamétralement à l'opposé de la mouche.
Le verre se déplie facilement en un rectangle de dimension 8 cm × 6π cm
La distance horizontale entre la mouche et l'araignée est la moitié soit 3π cm
Soit X le point où l'araignée franchit le bord et redescend à l'intérieur du verre.
Il faut minimiser la distance AX + XM, étant bien évident que AX et XM sont des segments de droite !
Soit M' le symétrique de la mouche par rapport au bord, M'X = MX
et donc il faut minimiser la distance AX + XM', c'est à dire A,X,M' alignés.
La distance minimale est
donc √AH² + HM'² = √3² + 9π² = 9.8907249284268... cm
Une application de Thalès donne le point X au 1/3 du demi cercle soit à 60° de la mouche.
Noter qu'un trajet direct par le fond du verre est 2 + h + 6 + h - 1 = 2h + 7.
Comme h > 2 (sinon l'araignée est pendue en dessous), cela donne > 11.
Sous le fond du verre (en négligeant le pied du verre) : h - 2 + 6 + h + 1 = 2h + 5, soit > 9.
La hauteur doit donc être > 2.445... pour que la solution soit valable.
Si 2 < h < 2.445, le chemin sous le fond du verre est plus court.
Verre conique
Le verre est conique de diamètre 6cm et de hauteur 4cm.La mouche est à l'intérieur à 1cm du bord (le long du verre).
L'araignée complètement de l'autre côté à 2cm du bord.
Le verre se déplie en un secteur circulaire.
L'application de Pythagore entre la hauteur h = 4cm, le rayon r = 3cm et la distance
latérale R (donc le rayon du secteur déplié) donne R² = r² + h² et donc R = 5cm.
Le bord du secteur a pour longueur Rθ, or c'est aussi 2πr, on
en tire θ = 2πr/R = 3/5 de tour.
La distance angulaire entre la mouche et l'araignée est la moitié, soit 3/10 de tour où 108°
Soit X le point où l'araignée franchit le bord.
Ici par contre plus question de symétrique de la mouche par
rapport au bord : celui-ci n'est pas rectiligne !
Une solution est de calculer en fonction de l'angle x entre l'araignée et X, la distance totale
AX + XM.
On obtient, avec Al-kashi :
AX = √3² + 5² - 2×3×5×cos(x)
XM = √4² + 5² - 2×4×5×cos(108° - x)
Ce qui ne donne pas une expression sympatique pour d(x) = AX + XM comme
somme de racines carrées. Encore moins pour sa dérivée, pour en chercher le minimum !
On peut toutefois programmer une recherche de x avec d'(x) = 0 par approximations successives.
Par dichotomie par exemple.
On obtient alors tous calculs faits x ≈ 100°, donnant d ≈ 7.44 cm
Le "cap" initial φ de l'araignée (angle avec le "pole" du verre O) est de 51.8°.
C'est à dire que l'araignée commence par descendre, s'éloignant du bord,
avant de remonter à partir du point H à une distance du bord de 2.64 cm !
C'est la même méthode qu'un vol "polaire" Paris - Los Angeles...
Une méthode graphique :
Le point X est tel que, en approximant le cercle par sa tangente en X, les points A, X et M' sont alignés,
M' symétrique de M par rapport à la tangente ("localement" rectiligne...).
Ceci est équivallent à dire que le symétrique M" de M par rapport à OX est sur la droite AX.
On peut alors déplacer X manuellement jusqu'à ce que cette condition soit réalisée.
Cette condition peut d'ailleurs conduire à une équation un peu plus "simple" (sans racine carrées),
en écrivant que les vecteurs AX et AM" sont colinéaires.
Nota : si on place autour du patron un miroir cylindrique, l'araignée se dirige "en ligne droite" vers l'image qu'elle voit de la mouche.
Script
Verre ballon sphérique
Le problème revient à chercher le trajet le plus direct sur une sphère, problème bien connu en navigation.
C'est un arc de grand cercle.
On va donc paramètrer le problème comme usuellement : par la latitude φ et la longitude λ.
Tout d'abord le rayon de la sphère est R = 4cm.
La latitude du bord est donc φe = arcsin((h - R)/R), soit ici arcsin(1/2) = 30°
Profitons en au passage pour calculer le rayon du bord r = R.cos(φe) = R√3 / 2 = 2√3
Soit φa la latitude de l'araignée, et φb celle de la mouche.
L'arc EA = R.(φe - φa) donne φa = φe - EA/R = π/6 - 2/4 = 0.0236 radian = 1.352°
Et de même φb = φe - EB/R = π/6 - 1/4 = 0.2736 radian = 15.676°
Vu de dessus, en prenant comme méridien d'origine la position de l'araignée,
la longitude de la mouche est λb = 180°.
Le trajet de l'araignée consiste donc à rejoindre le bord en X de
latitude φx = φe et de longitude λ, à l'extérieur du verre,
puis à redescendre dans le verre chopper la mouche.
Les deux trajets AX et XB sont individuellement "optimum" (donc des arcs de grands cercles),
et il reste à trouver X (donc λ) pour que la somme soit minimale.
Etudions de façon générale la distance minimale (arc de grand cercle) entre deux points A et B.
Les coordonnées dans le repère orthonormé xyz sont
A = (R.cos(φa), 0, R.sin(φa)) et B = (R.cos(φb)cos(λ), R.cos(φb)sin(λ), R.sin(φb)
L'angle AOB est alors obtenu par le produit scalaire :
cos(θ) = OA>.OB> / (|OA|.|OB|)
et donc la longueur de l'arc AB :
AB = R×arccos(cos(φa)cos(φb)cos(λ) + sin(φa)sin(φb) )
Cette formule est peu précise (erreurs d'arrondi) pour des petits angles, mais ici c'est sans importance.
Il existe des formules minimisant ces erreurs d'arrondis, par exemple à partir de l'arc sin ou de l'arc tangente, mais nous n'en aurons pas besoin ici.
L'arc de grand cercle entre A et X est donc
AX = R×arccos(cos(φa)cos(φe)cos(λ) + sin(φa)sin(φe) )
et celui de X à B :
BX = R×arccos(cos(φb)cos(φe)cos(λb - λ) + sin(φb)sin(φe) )
Pour minimiser la somme, il faut calculer les dérivées, la dérivée de arccos(u) étant -u'/√1 - u²
Il reste que résoudre en λ : somme des dérivées = 0 n'est pas une mince affaire,
et une méthode d'approximations successives donne là encore la solution.
... qui est fausse !
En effet, comme le montre l'exemple du vol polaire Paris - Los Angeles,
pour des points "suffisamment éloignés", l'arc de grand cercle monte au dessus des parallèles !
Ici cela veut dire qu'il est possible que le trajet optimal monte plus haut que le bord ! Ce qui est interdit,
l'araignée étant astreinte à marcher sur le verre.
Il y a donc une valeur maximale λ1 de λ au delà de laquelle le trajet AX "déborde",
et de même une valeur maximale de λb - λ, au
delà de laquelle le trajet BX déborde, soit une valeur minimale λ2 de λ
Si la valeur obtenue n'est pas dans les clous, il faut changer de stratégie :
L'araignée va rejoindre le point λ1 par un arc de grand cercle, sans déborder,
puis marcher sur le bord du verre entre λ1 et λ2,
et terminer son périple par l'arc de grand cercle entre ce dernier point et la mouche.
On notera que les trois arcs de cercles concernés sont tangents : la trajectoire de l'araignée est "lisse".
Considérons un arc de grand cercle tangent en E au bord.
Un diamètre est dans le plan équatorial, à 90° de E : OPy.
Les coordonnées des points, en prenant E comme origine des longitudes :
P = (0, R, 0), E = (R.cos(φe), 0 ,R.sin(φe)), et A = (R.cos(φa)cos(λ1), R.cos(φa)sin(λ1)), R.sin(φa))
En écrivant que ces trois vecteurs sont coplanaires, c'est à dire que le produit
mixte (OP^OE).OA = 0,
on obtient la relation cherchée donnant λ1 :
cos(φa)cos(λ1)sin(φe) - cos(φe)sin(φa) = 0, soit :
λ1 = arccos( tan(φa)/tan(φe) ) et de même λ2 = λb - arccos( tan(φb)/tan(φe) )
On a ainsi tout ce qu'il faut pour un :
Script
Nota : calculateur analogique
Il est facile d'imaginer un calculateur analogique de la plus courte trajectoire :
On relie les points par un élastique qui, en négligeant les frottements, adopte la trajectoire la plus courte "automatiquement".
Ceci est sans problème tant que le trajet est sur une surface plane ou convexe.
Mais à l'intérieur du verre, l'élastique adopte la plus courte distance dans l'air et non à la surface.
Pour le verre cylindrique, si tant est qu'il soit ici nécessaire, il suffit de dupliquer le verre par symétrie.
L'élastique reste alors à l'extérieur, traçant le symétrique de XM, à l'extérieur du deuxième verre.
Le verre conique se résoud de même.
Pour le verre sphérique par contre, la portion entre les deux verres
est concave et cela ne fonctionne plus ainsi, du moins si h<R et que le verre n'est pas une coupe :
L'élastique adopte la ligne droite en "volant" entre les deux verres.
Une possibilité est la suivante : on bouche l'ouverture par un cylindre de même rayon r dépassant du verre.
L'élastique passe alors en plus de son trajet, entièrement extérieur au verre,
un tour entier noué autour du cylindre.
Si on néglige aussi les frottements du noeud, c'est bon.
Même la contrainte λ2 ≤ λ ≤ λ1 est
"automatiquement" résolue (grâce au noeud et au cylindre).
On peut remplacer le noeud par un anneau microscopique glissant sans frottement sur une boucle.
Bon, c'est sûr, dans la pratique, frottement = 0 ça coince...
