Coniques

Intersection de deux coniques.
Le problème consiste à construire à la règle le 4ème point d'intersection de deux coniques Γ et Γ'
Soient deux coniques se coupant en A,B,C,D.
Une droite passant par A recoupe les deux coniques en M,M'
Une droite passant par B recoupe les deux coniques en N,N'
 MN, M'N' et CD sont concourantes. 

Dans l'applet ci-dessous, les coniques sont définies par 5 points, dont les 4 points ABCD et le point E pour Γ le point F pour Γ'.
Les points déplaçables verts et cyan définisent les sécantes AMM' et BNN'.

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Démonstration

Appliquons le théorème de Pascal aux deux hexagones MACDBN et M'ACDBN'
Les points d'intersection I = MA.DB, J = AC.BN et O = CD.MN sont alignés, donc O est l'intersction de IJ et CD.
Sur Γ' : les points d'intersection I' = M'A.DB, J' = AC.BN' et O' = CD.M'N' sont alignés, donc O' est l'intersction de I'J' et CD.
Comme la droite MA est M'A, I = I', et de même J = J', et donc O = O'.

 

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