Triangle max

Source : geometriagon #855

Etant donné un triangle ABC, construire le triangle DEF d'aire maximale avec A, B, C sur les côtés de DEF et les angles ∠ABD = ∠BCE = ∠CAF

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Soit α = ABD = BCE = CAF. Les angles BDA+DAB = π - α = DAC et donc  ∠BDA = ∠BAC 
On en déduit que D est sur le cercle d'où on voit le côté AB sous l'angle A.
Ce cercle est tangent en A à AC.
De même pour E et F :  DEF est semblable à ABC 
Nota : les trois cercles se coupent au point de Brocard de ABC.

La recherche du triangle DEF d'aire maximale est donc équivallente à la recherche de DF maximal, puisque ce triangle est semblable à un triangle fixe : ABC.
On retrouve une fois de plus le problème de la double corde de longueur maximale.
DF est maximale quand elle est parallèle à JK. D'où la construction.

 

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