Triangle max

Etant donné un triangle ABC, construire le triangle DEF d'aire maximale avec A, B, C sur les côtés de DEF et les angles ∠ABD = ∠BCE = ∠CAF

Soit α = ABD = BCE = CAF. Les angles BDA+DAB = π - α = DAC et donc  ∠BDA = ∠BAC 
On en déduit que D est sur le cercle d'où on voit le côté AB sous l'angle A.
Ce cercle est tangent en A à AC.
De même pour E et F :  DEF est semblable à ABC 
Nota : les trois cercles se coupent au (second) point de Brocard Ω' de ABC.

La recherche du triangle DEF d'aire maximale est donc équivalente à la recherche de DF maximal, puisque ce triangle est semblable à un triangle fixe : ABC.
On retrouve une fois de plus le problème de la double corde de longueur maximale.
DF est maximale quand elle est parallèle à JK. D'où la construction.
Surtout que du coup les points D, E, F sont les symétriques de Ω' par rapport à K, I, J.