7 cercles

Source : www.zahlenjagd.at
Autour d'un cercle Γ de rayon R, on place 6 cercles de rayon r et un 7^ème cercle de rayon R (identique à Γ) pour former une chaine fermée.
Tous ces cercles sont tangents à Γ et tangents avec le suivant de la chaine.
Valeur de r/R ?

Généralisation : n cercles de rayon r et un n+1^ème de rayon R.
Bien entendu n≥3 ! Et n = 5 donne r = R évidemment (la configuration classique de 6 cercles identiques autour d'un 7^ème).

Soit O' le centre du deuxième cercle de rayon R.
Soient A1, A2... An les centres des n cercles de rayon r.
On a évidemment OAi = R+r, OO' = 2R et AiAi+1 = 2r
A1 et An sont sur la tangente commune aux deux cercles de rayon R par symétrie (OA1 = O'A1).
L'angle de 360° est alors entièrement rempli de copies du triangle OA1U2, d'angle θ = arcsin(r/(R+r)) et de deux copies du triangle OTA1, d'angle φ = arccos(R/(R+r)).
On en tire la condition :

 (n-1)arcsin(r/(R+r)) + arccos(R/(R+r)) = π 

soit en posant u = R/(R+r) = 1/(1+r/R), et inversement r/R = (1-u)/u :

 (n-1)arcsin(1-u) + arccos(u) = π 

Que l'on résoud numériquement par l'algorithlme de Newton par exemple,
la dérivée de arccos(x) étant -1/√1 - x² et celle de arcsin(x) étant 1/√1 - x²

Un script de calcul en fonction de n:

Nombre de cercles de rayon r :