Ceva et au delà...

On se donne un triangle ABC et un point M. Les droites MA,MB,MC recoupent les côtés opposés (ou leur prolongements) en X,Y,Z.
Le cercle circonscrit à XYZ recoupe les mêmes côtés en U,V,W

 Les droites AU, BV, CW sont concourantes ou parallèles 

La propriété est encore valable si M est "à l'infini", soit MX, MY, MZ parallèles.

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Ceci est une application directe du théorème de Ceva :

 AX, BY, CZ parallèles ou concourantes ⇔ (XB / XC)(YC / YA)(ZA / ZB) = -1   [1] 

Comme XYZUVW sont cocycliques on a BX.BU = BZ.BW, soit XB / ZB = WB / UB,
Et les relations analogues avec A et C : ZA / YA = VA / WA et YC / XC = UC / VC

En portant ces relations dans l'expression [1], et en réarrangeant les termes, on obtient :
(UC / UB)(WB / WA)(VA / VC) = -1
Ce qui prouve (Ceva) que AU, BV, CW sont elles aussi concourantes ou parallèles.

Parallèles

On s'intéresse maintenant au cas où AX, BY, CZ sont parallèles.
Construire (à la règle et au compas) ces droites pour que AU, BV, CW soient elles aussi parallèles.

Indice    Solution

 

 

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