Ceva et au delà...

On se donne un triangle ABC. Trois droites parallèles passant par A,B,C recoupent les côtés opposés (ou leur prolongements) en X,Y,Z.
Le cercle circonscrit à XYZ recoupe les mêmes côtés en U,V,W.
Choisir la direction des droites AX, BY, CZ pour que les droites AU, BV, CW soient elles aussi parallèles.
Construction à la règle et au compas.

Si on se fixe Y par exemple, les points X et Z sont parfaitement définis par AX // BY // CZ.
Indépendemment, si on se fixe V par exemple, U et W sont parfaitement définis par AU // BV // CW.
Choisissons donc comme variables libres y = AY et v = AV, en orientant par exemple AB de A vers B, BC de B vers C et AC de A vers C.
C'est à dire BC = |BC| = a, AC = |AC| = b, AB = |AB] = c.

Fichier Geogebra

XYZUVW cocycliques se traduit par AY.AV = AZ.AW [1]

Les droites parallèles donnent avec Thalès : AY / AC = AB / AZ, soit AZ = b.c/y
Avec U,V,W et l'autre jeu de parallèles : AW / AB = AC / AV, soit AW = b.c/v.
En portant ces valeurs dans [1] : v²y² = b²c², ou au signe près :  |v.y| = b.c 
A propos des signes, Ceva = -1 indique que un et un seul de X,Y,Z est sur les côtés même de ABC, les deux autres étant sur leurs prolongements.
De même un et un seul de U,V,W est sur un côté. Nous y reviendrons à propos du nombre de solutions.

Continuons avec [1] qui n'a pas livré tout ce qu'elle peut. Elle peut s'écrire :
AV / AZ = AW / AY = (b.c/v) / y = ± 1 puisque |v.y| = b.c

 AZ = AV et de même :
 AY = AW, BU = BZ, BX = BW, CX = CV, CU = CY   

On en déduit immédiatement que le centre du cercle XYZUVW, sur la médiatrice de VZ, est sur une bissectrice de l'angle A,
et de même sur les bissectrices de l'angle B et de l'angle C.
Compte tenu de la remarque sur les signes, une et une seule est une bissectrice intérieure et donc :

 le centre du cercle XYZUVW est le centre d'un cercle exinscrit à ABC 

Choisissons pour poursuivre le cas du cercle exinscrit dans l'angle A, c'est à dire celui de la figure ci-dessus.
Alors le point de contact H du cercle exinscrit avec AC est le milieu de VY, puisque la médiatrice de VY est justement JaH.
Compte tenu de la relation bien connue AH = (a+b+c)/2, on en déduit  v+y = a+b+c 
v.y > 0 car sinon tous les points d'intersection seraient extérieurs au triangle.

Et donc v et y sont les solutions de l'équation   t² - (a+b+c)t + b.c = 0   

Celà donne aussi la construction cherchée :
il suffit de construire le cercle centré au centre du cercle exinscrit et tel que la puissance de A soit AV.AY = AB.AC.
Sur une droite quelconque (euh, au hasard AB...) portons AM = AB (euh, M = B...) et AN = AC.
La médiatrice de MN (euh, de BN) et la perpendiculaire à AC issue de Ja se coupent en O.
Le cercle de centre O et passant par M (euh, B) ... et N coupe AC en V et Y qui satisfont (AV + AY)/2 = AH et AV.AY = AM.AN = AB.AC.
Le cercle XYZUVW est le cercle de centre Ja passant par V (et Y).

Il y a donc une et une seule solution de centre Ja. Ou deux en échangeant seulement les noms de (XYZ) et (UVW).
Soit trois (6) solutions en tout avec les deux autres centres de cercles exinscrits.

 

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