Equerre

Constructions avec une règle et une équerre seulement.
On considère ici l'usage de l'équerre pour tracer une droite perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné. Full stop.
Que cette équerre permette de tracer des parallèles est assez évident, si on accepte les "points catalyseurs", points arbitrairement choisis, tels que le résultat final de la construction ne dépende pas de ces points.

Milieu d'un segment et médiatrice

On trace les perpendiculaires en A et B.
Un point arbitraire (cyan) étant choisi, une perpendiculaire à ces perpendiculaires
(donc une parallèle à AB) forme un rectangle.
Les diagonales se coupant au centre I de ce rectangle, la perpendiculaire passant par I à AB
est la médiatrice de AB, et coupe AB en son milieu.

Symétrique

On construit sur une perpendiculaire quelconque (par le point arbitraire cyan)
un segment quelconque BC et son milieu M.
Un faisceau de droites issues de O, intersection de AC et MH, complète la construction.

Points constructibles

Ces règles de construction ne permettent pas de construire tout ce qui est constructible à la règle et au compas : en particulier copier un segment sur une droite non parallèle.
On ne peut donc pas construire un carré de côté donné.

Centre de similitude

Etant donnés les points A,B,A',B', (AB non parallèle à A'B')
Soit à construire le centre de la similitude directe qui transforme AB → A'B'.
Rappelons la construction classique :
Soit I l'intersection de AB et A'B'
Les cercles circonscrits à IAA' et IBB' se coupent en un deuxième point qui est le centre de la similitude (preuve par la propriété de conservation des angles).
Il est tout à fait possible de construire ce point avec la règle et l'équerre seules.
Construisons les médiatrices de IA et IA', se coupant en O, ainsi que les médiatrices de IB et IB' se coupant en O'
On ne peut bien sûr pas tracer les cercles ci-dessus (de centres O et O'), mais leur deuxième point d'intersection est le symétrique S de I par rapport à la ligne des centres OO'.
On dispose déjà d'un segment IA et de son milieu M, il n'y a plus qu'à terminer la construction du symétrique :
La perpendiculaire à OO' de I coupe OO' en H.
une parallèle à MH issue de A coupe IH en S.

Bon, cette construction est en fait inutilement compliquée.
Voir ci-dessous.

Equerre fausse

On considère ici une équerre "fausse", l'angle droit ne valant pas exactement 90°.
Le milieu d'un segment est constructible comme ci-dessus (les diagonales d'un parallélogramme se coupant en leur milieu).
La médiatrice est un peu plus compliquée :
Il suffit de retourner l'équerre (échanger le rôle de ses côtés) pour tracer l'angle -θ, et ainsi un triangle isocèle ABO et le tour est joué.
La seule difficulté vient quand θ ≈ 90° car alors le point d'intersection des droites à +θ de A et -θ de B est ... très loin (à l'infini si θ = 90°)
Une parallèle à AB forme alors un trapèze isocèle, dont les diagonales se coupent sur la médiatrice.

 On peut donc tracer des angles droits avec une équerre fausse ! 

Centre de similitude avec une équerre fausse

L'applet ci-contre permet de choisir l'angle θ de l'équerre.
Les points A,B,A',B' sont bien entendu déplaçables.

Soit I l'intersection de AB avec A'B'
Tracer les droites d'angle θ avec AB en A et B, et de même les droites d'angle θ avec A'B' en A' et B'.
Les droites homologues se coupent en a, b.
Tracer la droite ab
Tracer une droite Is telle que ab fasse l'angle θ avec Is. En d'autres termes, tracer une droite issue de I faisant l'angle -θ avec ab : (ab, Is) = - (Is, ab)
Is et ab se coupent au centre S cherché.
(preuve par les angles de droites et les cercles suggérés en jaune).
Avec θ = 90°, ceci donne une construction bien plus simple que la précédente !

Une fois ceci fait, il est tout aussi simple de construire l'image par la similitude d'un point M quelconque :
Tracer Mq // AB, et coupant IS en Q.
Tracer la droite Mp faisant l'angle θ avec Mq (parallèle à Aa), et coupant ab en P.
Tracer la droite Qm' // A'B'
Construire la droite Pm' faisant l'angle θ avec Qm' (parallèle à A'a)
M' est l'intersection de Qm' et Pm'.
Là aussi, la conservation des angles et la cocyclicité des points M,M',P,Q,S est la clé.