Points équidistants de deux segments

Définisons la distance d'un point P à un segment AB comme la plus courte distance de ce point aux points du segment.
Si le pied de la perpendiculaire issue du point P au segment est dans le segment, c'est le cas "ordinaire". Sinon, c'est donc la distance de P à l'extrémité la plus proche.
Le lieu des points à distance donnée d du segment se compose ainsi de deux segments, parallèles à AB à la distance d, et de deux demi-cercles de rayon d.

On s'intéresse à l'ensemble des points du plan équidistants des deux segments donnés AB et CD.

Il faut dans le cas général distinguer 4 cas selon la position des segments par rapport à leur enveloppe convexe

aucun des segments n'est à l'intérieur de l'enveloppe convexe
un seul des segments est à l'intérieur de l'enveloppe
les deux segments sont à l'intérieur de l'enveloppe
le cas dégénéré où les deux segments ont une extrémité commune

Etudions tout d'abord le cas dégénéré de deux segments OA et OB.

A "l'intérieur" de l'angle formé par les deux segments, et "suffisemment près de O", le lieu est formé de la bisectrice Oa. Alors les distances sont les distances "ordinaires" aux droites OA et OB.
Cette condition est limitée par la plus proche des perpendiculaires aux segments en A et B, ici au point a, intersection de la bisectrice avec la perpendiculaire en A.
Au dela, la distance du point à OA est la distance du point à A.
Le lieu devient alors le lieu des points équidistants de A et de la droite OB : une parabole de foyer A et de directrice OB.
Cette condition est limitée quand la distance du point à OB devient à son tour la distance du point à B : point b sur la perpendiculaire en B à OB.
Plus loin, le lieu est donc constitué des points équidistants de A et B, donc la médiatrice de AB.
Si OB <OA, le rôle de a et b est inversé.

A l'extérieur de l'angle AOB, tout point de la région R, limitée par les perpendiculaires en O à OA et OB, a pour distance aux segments la distance commune à O. En dehors de cette région aucun point ne convient.
Si O,A,B sont alignés, ce cas dégénère encore d'avantage en un demi plan, ou la seule perpendiculaire en O à AOB.

Ce raisonnement se prolonge aux cas non dégénérés : le lieu sera constitué de morceaux de bissectrice(s) et de morceaux de médiatrice(s), reliés par des arcs de parabole. On montrera aisément que ces arcs de paraboles sont tangents aux bissectrices et médiatrices. Ici tangent en a à la bissectrice et en b à la médiatrice.

Vu la complexité de la séparation des différents cas d'intersections et de combinaisons de ces morceaux de bissectrices et de médiatrices, intercalés d'arcs de paraboles, seuls le cas 2 et le cas dégénéré 4 vu au dessus ont des applets, pour les autres seule l'allure du lieu sur des exemples est donné.

Cas 1

Là aussi, les régions sont délimitées par les perpendiculaires en A et B à AB, et les perpendiculaires en C et D à CD.
L'exemple ci-dessous montre ainsi le lieu comme composé d'un morceau Qz' de la médiatrice de AC, d'un arc de parabole QU, de foyer A et de directrice CD, d'un morceau de la bissectrice UV, d'un arc de parabole VP, de foyer D et de directrice AB, et enfin d'un morceau Pz de la médiatrice de BD.

Les segments et points limites ne sont pas toujours ceux là.
Par exemple, un cas ou AB est "plus loin". Ici UV est un morceau de la médiatrice de AD !

Cas 2

Ici le nombre de cas est plus faible et donc l'applet promise.
A,B,C,D sont déplaçables mais B est contraint à l'intérieur strict (coté exclus) du triangle ACD.
Selon la position des points, le lieu est formé d'un arc de parabole (magenta) uv "entourant" B, prolongé selon les cas par des morceaux de bissectrice de l'angle O (bleu) ou de médiatrice de BC ou BD (orange) um et vn, suivi de morceaux de parabole (magenta) np et mq raccordant à la fin du lieu composé des morceaux de médiatrices de AC et AD (rouge).

Cas 3

On a maintenant l'habitude...
Comme les segments se coupent en O, au voisinage de O on a les deux bisectrices de l'angle O.
Au loin, on a les 4 médiatrices de l'enveloppe convexe.
Les bissectrices sont limitées par les perpendiculaires aux segments en leurs extrémités.
De même pour les médiatrices. Le problème est juste de trouver la bonne perpendiculaire...
De même les arcs de parabole ont des foyers et directrices divers.
Donnons juste un cas "typique" :
On a ici IM de foyer D et directrice AB, I'M' de foyer B et directrice CD, JN de foyer C et directrice AB et enfin J'N' de foyer B et directrice CD (un autre morceau de la parabole I'M').

Séparation

En fait les perpendiculaires aux segments en leurs extrémités découpent le plan en 9 régions.
Dans chaque région, le lieu est une partie particulière de bissectrices, médiatrices ou paraboles.
Eventuellement vide, par exemple ici la médiatrice de AC n'a aucun point dans la région 1 !
"A la main" il est facile de couper chaque bissectrice, médiatrice et parabole par ces régions.
C'est une autre histoire dans une applet, tout au moins pour les paraboles. L'échange possible A↔B ou C↔D n'arrange pas les choses...

1	Médiatrice de AC
2	Parabole foyer A, directrice CD
3	Médiatrice de AD
4	Parabole foyer C, directrice AB
5	Bisectrices
6	Parabole foyer D, directrice AB
7	Médiatrice de BC
8	Parabole foyer B, directrice CD
9	Médiatrice de BD

Enfin si B=C par exemple, la "médiatrice de BC" n'est pas définie, c'est à dire que c'est le plan entier. Toute la région 7 fait alors partie du lieu. On retrouve le cas dégénéré étudié au début.

Les cas AB // CD se traitent de même :

Dans ce cas la "bissectrice" est la parallèle médiane à AB et CD.