Triangle isocèle

Construire un triangle isocèle étant donné le rayon du cercle inscrit et d'un cercle exinscrit.
Disons dans l'angle A.

Le cas facile est avec AB = AC
Alors les deux cercles sont tangents en le milieu M de BC, et le problème est résolu en construisant les tangentes communes externes aux deux cercles.

Plus intéressant est le cas avec AB = BC ...

soit S l'intersection de la bissectrice avec le côté BC, I et J les centres des cercles.

Théorème (bien connu)

    ASIJ est une division harmonique (IA/IS = - JA/JS)

En projetant cette relation sur une perpendiculaire à la base, cela permet de construire la hauteur du sommet A :
A* est le conjugué harmonique de O par rapport à I,J*
Alors A est sur la parallèle à BC en A*.

Le point de contact N du cercle inscrit avec la base AC est le milieu de AC, donc sur une ligne à mi hauteur de la droite précédente.
Ceci donne le point N, comme intersection avec le cercle inscrit, et le triangle suit.

Dans l'applet I et J* sont draggable pour faire varier le rapport OJ*/OI
Les deux solutions sont affichées par les boutons correspondants.
Un triangle courant (non isocèle) est défini par le point A draggable.
Construction évidente de B,C,J à partir de A.
La troisième solution, non tracée, est le cas symétrique AC = BC

Calculs

Sans la démontrer ici, citons la formule donnant les rayons des cercles :

  r = 4R sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) où R est le rayon du cercle circonscrit et r celui du cercle inscrit
et la formule similaire :

  r_A = 4R sin(A/2)cos(B/2)cos(C/2) où r_A est le rayon du cercle exinscrit dans l'angle A.

On en tire r/r_A = tg(B/2)tg(C/2)
si le triangle est isocèle, on doit considérer séparément les deux cas :

1. AB = AC et les angles B = C soit tg²(B/2) = r/r_A donne l'angle à la base B = C
2. AB = BC et les angles A = C
   Par conséquent B = π - 2C et B/2 = π/2 - C et tg(B/2) = 1/tg(C) = (1 - tg²(C/2))/ (2 tg(C/2))
   On en tire tg²(C/2) = 1 - 2r/r_A et donc l'angle à la base A = C