Intersection de coniques d'axe commun

Les intersections de deux coniques ne sont en général pas constructibles à la règle et au compas, car résultant en une équation générale du 4ème degré.
La construction suivante est valable si les coniques ont un axe commun.
L'équation se réduit alors en une simple équation du second degré par symétrie par rapport à cet axe commun.
La construction est valable que l'axe commun soit l'axe focal ou l'axe transverse, indépendamment pour chacune des deux coniques.
A titre d'exemple donnons le cas où l'axe focal est commun.

Dans l'applet, pour chaque conique, O déplace la conique, F définit le foyer et S' le sommet opposé (sinon trop près l'un de l'autre)
L'autre foyer et l'autre sommet sont déduits par symétrie par rapport au centre

Il suffit de déterminer les coniques dégénérées du faisceau défini par les deux coniques données, et plus précisément celle formée de deux droites perpendiculaires à l'axe.

Considérons une sécante commune (L) quelconque coupant les coniques en M_a, M'_a et M_b, M'_b, et définissant ainsi l'involution de Desargues sur (L) induite par le faisceau de coniques.
Définissons de même une deuxième involution sur une autre sécante (L')
Projetons perpendiculairement ces deux involutions sur l'axe (ou une parallèle) et effectuons le produit de ces deux involutions.

La conique dégénérée cherchée est définie par les points fixes de cette homographie produit.

C'est à dire les points qui se correspondent "verticalement" dans les deux involutions de Desargues.

Ceci s'obtient en projetant l'homographie sur un cercle quelconque, ou ce qui est plus efficace en projetant séparément les deux involutions de l'axe sur le cercle, et en y effectuant le produit : l'axe de l'homographie est la droite reliant les deux centres d'involution ! (car sinon il faudrait trois points et leur image pour définir l'homographie, donc trois sécantes)
Rappelons que le centre de l'involution sur le cercle (sur une conique quelconque) est défini par le théorème de Frégier :
Les droites mm', où m↔m' sont deux points homologues, passent par un point fixe : le centre de l'involution.
Les intersections de l'axe avec le cercle, points fixes de l'homographie sur le cercle, sont renvoyés sur l'axe des coniques pour avoir la conique dégénérée.
Ici les droites quelconques sont choisies par commodité parallèles à l'axe pour construire facilement leur intersection avec les coniques.
Et même mieux : l'une d'elles est l'axe lui même !
Das le cas d'une parabole, le deuxième point d'intersection est à l'infini, remplaçant une droite via deux points par une parallèle.

Une construction tout à fait semblable est obtenue avec un ou les deux axes transverses comme axe commun.
Mais l'applet est à reprendre entièrement car les constructions de points d'intersection droite/conique et les choix des deux sécantes sont différents.
L'axe commun n'est plus obligatoirement une sécante, il faut donc choisir réellement deux sécantes quelconques (non parallèles à l'axe) pour qu'elles coupent les deux coniques en des points réels.