Normales issues de P à une conique

Il s'agit de construire "par coniques" les normales issues d'un point P à une conique.
Si P est sur un axe de la conique, les sommets sur cet axe sont des solutions et la construction des autres s'il y en a peut se faire à la règle et au compas
Sinon, l'équation qui en résulte est une équation irréductible de degré 3 ou 4 et la construction à la règle et au compas est impossible.
Dans ce cas nous allons chercher à les construire comme intersections de la conique donnée et d'une autre conique dont on construira des éléments caractéristiques (points, foyers etc)

Entraînement : Parabole et P sur l'axe

La propriété clé est que la sous-normale est égale au paramètre.
On translate donc P de ce paramètre (distance entre le foyer et la directrice) en P' et la corde passant par P' perpendiculaire à l'axe coupe la parabole en les deux points cherchés, ou aucun si elle est en dessous du sommet.
L'intersection à la règle et au compas d'une parabole avec une droite perpendiculaire à l'axe est classique et pas détaillée ici.
Les autres solutions sont le sommet (trivial) et le point à l'infini.

Nota : les tangentes se coupent en un point T, symétrique de P par rapport au foyer.

 

Parabole et P n'importe où

P se projette en H sur l'axe, H est décalé de la valeur du paramètre en Ω centre d'une hyperbole équilatère d'asymptotes l'axe de la parabole et la perpendiculaire en Ω
On trace cette hyperbole connaissant ses asymptotes et un point, le point P (classique, on construit ses foyers F₁ et F'₁)
Elle coupe la parabole en les points P₁, P₂ et P₃ cherchés
Au moins un des trois est réel : celui sur la branche en direction de l'infini de l'axe de la parabole.
La 4ème solution est là aussi le point à l'infini de la parabole
La discussion fait intervenir le lieu des centres de courbure de la parabole, en orange sur la figure, vu que les normales cherchées sont les tangentes issues de P à ce lieu (en le centre de courbure).

Démonstrations laissées au lecteur ...

On notera que si P est sur l'axe, cette hyperbole dégénère en deux droites perpendiculaires = ses asymptotes et on retrouve le cas précédent.

 

Hyperbole et P sur l'axe focal

P se projette en H sur une asymptote, la perpendiculaire en H à l'axe focal coupe l'hyperbole en les deux points cherchés, ou aucun.
Les deux autres solutions sont bien entendu les sommets de l'hyperbole.
si P est sur l'axe transverse idem : la perpendiculaire en H à l'axe transverse, et ces deux solutions là seulement, et pas les sommets)

Là aussi la construction à la règle et au compas de l'intersection d'une hyperbole et d'une droite parallèle à un axe est classique et pas détaillée.
(et même pas effectuée par l'applet qui triche, en quelque sorte en donnant directement les intersections droite-hyperbole, construction par coniques disais-je)

Démonstrations laissées au lecteur ...

 

Hyperbole (c) et P n'importe où

P se projette en H et K sur les asymptotes de (c). Le milieu de HK est le centre d'une hyperbole équilatère Γ dont les asymptotes sont parallèles aux axes de (c) et qui passe par P.
Les intersections de cette hyperbole avec (c) sont les points cherchés

Γ passe par le centre O de (c), les points P, H et K, il suffit de construire comme sur la figure un autre point P' pour tracer cette hyperbole par 5 points sans même construire ses foyers (ce n'est pas dur non plus mais plus long et il faut bien choisir qui est l'axe focal de cette hyperbole selon la position de P)
inconvénient de la construction par 5 points : elle échoue si deux d'entre eux sont confondus ...

Si P est sur un axe cette hyperbole Γ dégénère en deux droites, l'un l'axe et l'autre la perpendiculaire (HK), et on retrouve la construction précédente.

La aussi la discussion fait intervenir la développée de l'hyperbole, lieu de ses centres de courbure (non tracée)

Démonstrations encore laissées au lecteur ...

 

Ellipse (c) et P sur l'axe focal

Soit P' le conjugué harmonique de P par rapport aux foyers F,F'
(nota ; c'est l'inverse de P par rapport au cercle de diamètre FF', construction Geogebra expéditive)
Le cercle de centre P' passant par F' coupe (ou pas) le cercle directeur centré sur l'autre foyer en M₁ (et M₂) donnant par la construction usuelle des points de l'ellipse les points P₁ et P₂
(Intersection de FM₁ et de la médiatrice de F'M₁)
Et bien sûr les sommets de l'ellipse

Démonstrations toujours laissées au lecteur ...
Une construction plus simple est issue du cas général, voir plus loin

 

Ellipse (c) et P sur l'axe transverse (petit axe)

Le cercle circonscrit à PFF' recoupe l'axe transverse en P'
Le cercle de centre P' passant par F et F' coupe (ou pas) le cercle directeur en M₁ et M₂ donnant comme précédemment par la construction classique des points de l'ellipse les points P₁ et P₂
Les deux autres sont les sommets du petit axe bien entendu (les seuls si P est "trop loin")
La aussi l'adaptation de la construction générale est plus simples

 

Ellipse (c) et P n'importe où

Tracer les axes de l'ellipse et le rectangle ABCD des tangentes en les sommets de l'ellipse
La perpendiculaire issue de P à (AC) coupe (BD) en U, la perpendiculaire à (BD) coupe (AC) en V
Le milieu Ω de UV est le centre d'une hyperbole équilatère d'asymptotes parallèles aux axes de l'ellipse, et passant par A (et O)
Ses intersections avec (c) sont les points P1 à P4 cherchés
Comme pour l'hyperbole des cas précédents, on peut aussi la construire par simplement 5 points :
Avec le même inconvénient que précédemment de cette cpnstruction par 5 points, certes plus expéditives mais moins robuste.

Si P est sur un axe, l'hyperbole dégénère en une paire de droites. La construction de Ω est pourtant encore valable et donne une autre méthode que celle vue précédemment.
Mais un seul point sur la branche perpendiculaire à l'axe contenant P suffit à construire cette hyperbole dégénérée en une paire de droites :

L'ellipse est ici définie par ses axes AA', BB' (A et B déplaçables)
La perpendiculaire de P à l'une des diagonales du rectangle circonscrit coupe l'autre diagonale en M qui est sur l'hyperbole dégénérée,
composée de l'axe contenant P et de la perpendiculaire de M à cet axe là.

Démonstrations toujours laissées au lecteur ...

 

Annexe 1 : Hyperbole d'Apollonius

Pour info, et pistes pour les démonstrations, l'hyperbole équilatère Γ utilisée s'appelle l'hyperbole d'Apollonius pour le point P de la conique (c)
C'est le lieu quand T parcourt la conique (c) des points d'intersection de la perpendiculaire à la tangente en T à la conique et du diamètre passant par T (Reste donc à démontrer ça, que le lieu de ces points est bien une hyperbole équilatère d'asymptotes parallèles au axes de (c))

Si M' est construit de même à partir du point T' symétrique de T par rapport à l'axe, le milieu de MM' est fixe et est le centre de Γ
Cette propriété (à démontrer) est à la base des diverses constructions de Ω

Lorsque T, H et M sont confondus, M est le point d'intersection des deux coniques, la normale en M est alors la droite MH passant par A.
Ici illustré sur une ellipse

 

Annexe 2 : construction d'une hyperbole par asymptotes et un point

(rappel)
Le symétrique P' du centre par rapport à P est tracé, ses projections M et N sur les asymptotes parallèlement à celles-ci déterminent la tangente MN en P à l'hyperbole, P milieu de MN
L'axe focal est la bissectrice intérieure de l'angle ∠MON
soient U et V les intersections, de cet axe avec la tangente (MN) et la normale en P
Les foyers F et F' satisfont à (F, F', U, V) est une divisions harmonique donc OF² = OF'² = OU.OV
la tangente OT issue de O au cercle de diamètre UV est donc égale à OF et OF'

Si P est sur l'axe (et est donc le sommet de l'hyperbole) cette construction échoue car l'intersection V de la normale (qui est l'axe lui-même !) avec l'axe n'est pas définie
Mais dans ce cas OF = OF' = OM = ON
Ceci complique tout de même l'applet qui doit détecter ce cas où elle ferait du n'importe quoi
De même si P est sur une asymptote : l'hyperbole dégénère en deux droites qui sont ces asymptotes elles mêmes.