Normales issues de P à une conique

Il s'agit de construire "par coniques" les normales issues d'un point P à une conique.
Si P est sur un axe de la conique, les sommets sur cet axe sont des solutions et la construction des autres s'il y en a peut se faire à la règle et au compas
Sinon, l'équation qui en résulte est une équation irréductible de degré 3 ou 4 et la construction à la règle et au compas est impossible.
Dans ce cas nous allons chercher à les construire comme intersections de la conique donnée et d'une autre conique dont on construira des éléments caractéristiques (points, foyers etc)

Entraînement : Parabole et P sur l'axe

(définie par exemple par foyer et directrice)
Deux points "triviaux" : le sommet et le point à l'infini
Les deux autres quand ils existent peuvent donc se construire à la règle et au compas
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Ellipse (c) et P sur l'axe focal

La aussi les deux points triviaux, les sommets de l'axe, réduisent le degré et permettent une construction à la règle et au compas
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Ellipse (c) et P sur l'axe transverse (petit axe)

idem. (mais construction légèrement différente, pourquoi ?)
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Hyperbole et P sur l'axe focal

idem, et construction différente car ??
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Et sur l'axe transverse ?
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Passons aux choses sérieuses...

Ellipse (c) et P n'importe où

Hélas, les constructions à la règle et au compas, c'est fini ...
Il faut trouver les points par intersections de deux coniques
Reste donc à trouver comment construire cette deuxième conique, et déja ses caractéristiques
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Hyperbole (c) et P n'importe où

du même genre mais simplifiée car :
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Parabole et P n'importe où

le centre n'existe pas et il n'y a qu'un seul foyer
Il faut donc adapter la construction ... en utilisant :
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solutions de tous ces cas

 

Rappels

Une conique est parfaitement définie

• Si on en connaît 5 points (fonction Geogebra)
• ou les foyers et un point et le type, ellipse ou hyperbole (fonctions Geogebra)
• ou un foyer et le cercle directeur centré sur l'autre foyer
• ou un foyer, la directrice associée et l'excentricité
• Pour une parabole : le foyer et la directrice (fonction Geogebra)
  (ou le foyer et le sommet ou le sommet et la directrice, ou la tangente au sommet etc, ça revient quasiment au même)
• Pour une hyperbole : les asymptotes et un point
• Pour une ellipse : les sommets ( = le petit axe et le grand axe)
• etc (voir la section "coniques")

et vice-versa : on peut construire à la règle et au compas (ou fonctions Geogebra ...) les autres éléments que ceux ayant servi à définir la conique.