Antiparallèlisme

Considérons deux droites D1 et D2 et deux sécantes PAB et PA'B' On a alors le parallèle (!) suivant :

D1 et D2 sont parallèles (quelles que soient les sécantes)	D1 et D2 sont antiparallèles par rapport aux deux sécantes
Les triangles PAA' et PBB' sont semblables	Les triangles PAA' et PB'B sont semblables
PA/PB = PA'/PB' (Thalès) ou PA/PA' = PB/PB'	PA/PB' = PA'/PB ou PA/PA' = PB'/PB
les angles PAA' et PBB' sont égaux	les angles PAA' et PB'B sont égaux

On omettra de préciser "par rapport" à quelles sécantes lorsqu'il n'y a pas de confusion.
Mais il ne faut pas oublier que D1 et D2 ne sont antiparallèles que par rapport à des sécantes précisées !
On notera D1 // D2 pour parallèles et D1 \\ D2 pour antiparallèles (les sécantes étant sous entendues).

On en déduit les théorèmes suivants :

Deux droites antiparallèles à une même troisième sont parallèles

D1 \\ D3 et D2 \\ D3 ⇒ D1 // D2
Et réciproquement, D1 \\ D3 et D1 // D2 ⇒ D1 \\ D3
Evident avec la propriété sur les angles.
On peut ainsi parler de "directions antiparallèles" (par rapport aux sécantes).

Deux droites sont antiparallèles ssi le quadrangle AA'BB' est inscriptible

Car deux angles opposés sont supplémentaires.
On peut noter que la relation sur les distances peut s'écrire PA.PB = PA'.PB' = puissance de P par rapport au cercle AA'B'B.

Réciprocité

AA' \\ BB' par rapport à (AB, A'B') ⇔ AB \\ A'B' par rapport à (AA', BB')

Deux droites symétriques par rapport à la bisectrice sont antiparallèles

En effet, les triangles PIA et PIB' sont égaux, donc PA = PB'
De même PB = PA' et donc PA/PB' = PA'/PB ( = 1)

Milieux des segments

Deux droites AA' et BB' sont antiparallèles ssi les milieux de AA' et de BB' sont isogonaux.
C'est à dire les angles BPN et MPA' sont égaux.
C'est à dire si M appartient à la symmédiane de PBB'.
En effet en considérant les médianes des triangles semblables PAA' et PB'B, les triangles BPN et PA'M sont semblables, donc les angles en P sont égaux.

Nota : les droites sont parallèles ssi P,M,N sont alignés

Tangentes au cercle circonscrit

La tangente au cercle circonscrit en un sommet est antiparallèle au côté opposé (par rapport aux deux autres côtés)
Immédiat avec les angles : l'angle de la tangente avec AB est égal à l'angle inscrit ACB.