On a la formule donnant le n+1ème terme :
Un=U0+na
Dans l'exemple précédent, le 10ème terme est 5+3x9=35.
La somme des n+1 premiers termes ("série arithmétique") est obtenue aisément en groupant les termes deux par deux :
U0+ U1 + U2 +....+Un-2+Un-1+Un
+Un+Un-1+Un-2+....+ U2 + U1 +U0
=2S=(n+1)x(U0+Un)
car Uk+Un-k=U0+ka+U0+(n-k)a=U0+U0+na=U0+Un
quel que soit k, et donc :
S=(n+1)(U0+Un)/2
Application : somme des nombres entiers de 1 à 1000
C'est une progression arithmétique de raison 1, sa somme est 1000x1001/2=500500.