Progression arithmétique - série arithmétique

Une progression arithmétique est obtenue en ajoutant une constante "a" au terme précédent :
Un+1=Un+a
"a" est appelé la "raison" de la progression arithmétique.
Par exemple en partant de 5 avec la raison 3 : 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 33, 35, ...

On a la formule donnant le n+1ème terme :

Un=U0+na
Dans l'exemple précédent, le 10ème terme est 5+3x9=35.

La somme des n+1 premiers termes ("série arithmétique") est obtenue aisément en groupant les termes deux par deux :

  U0+ U1  + U2  +....+Un-2+Un-1+Un
+Un+Un-1+Un-2+....+ U2  + U1  +U0
=2S=(n+1)x(U0+Un) car Uk+Un-k=U0+ka+U0+(n-k)a=U0+U0+na=U0+Un quel que soit k, et donc :

S=(n+1)(U0+Un)/2

Application : somme des nombres entiers de 1 à 1000
C'est une progression arithmétique de raison 1, sa somme est 1000x1001/2=500500.

 

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