Ellipse

L'ellipse est définie ici comme l'intersection d'un plan et d'un cylindre de révolution.
Ou aussi comme la projection parallèle d'un cercle sur un plan.
C'est à dire comme la transformée d'un cercle par affinité orthogonale de rapport cos(α).
α étant l'angle du plan du cercle avec le plan de l'ellipse.
Son équation est donc x² + (y/k)² = R² dans un repère kivabien. Soit x²/a² + y²/b² = 1

Comme on sait facilement construire des points, tangentes etc... d'un cercle, la transformation de ce cercle en ellipse et inversement donne les constructions équivalentes pour l'ellipse.

On donne les axes

Points sur une perpendiculaire à l'axe

On trace le cercle principal, de rayon OA, et le cercle mineur de rayon OB.
La perpendiculaire Δ à l'axe coupe ce cercle en M.
L'affinité HP/HM = OP'/OM = OB/OA = b/a donne le point P de l'ellipse :
OM coupe le cercle de rayon OB en P'
La parallèle au grand axe en P' coupe Δ en P cherché (et on obtient l'autre point symétrique par rapport au grand axe)

D'autres constructions de cette affinité s'avèrent moins simples
La droite AM coupe l'axe en I, IB coupe la perpendiculaire en P cherché.
Ou d'autres variantes si I est en dehors de la feuille, utilisant les points B' avec OB' = 2.OB et A' avec OA' = 2.OA.

Points sur une droite quelconque

On transforme la droite Δ par l'affinité inverse (de rapport a/b) :
On transforme un point quelconque D de Δ en D' comme ci dessus,
DB coupe l'axe en J, AJ coupe la perpendiculaire de D à l'axe en D'.
L'intersection I de Δ avec le grand axe est inchangée.
La transformée Δ' est donc la droite ID', elle coupe le cercle principal en M.
On retransforme M par affinité de rapport b/a.
(en fait simplement la perpendiculaire MH au grand axe coupe Δ en P)
Idem pour l'autre point d'intersection P'.

Tangentes

La tangente au cercle principal est perpendiculaire au rayon, le tracé de la tangente en un point construit comme ci-dessus est alors immédiat :
le point d'intersection I de la tangente avec le grand axe est invariant par l'affinité, et elle passe par le point construit P de l'ellipse...

Plus intéressante est la construction des tangentes à l'ellipse depuis un point donné.
On transforme par l'affinité inverse (de rapport a/b) le point donné P en P' par la méthode maintenant familière des points I, A, B.
On trace les tangentes de P' au cercle principal, que l'on retransforme par affinité (de rapport b/a).
Rappel : les points de contact des tangentes au cercle issues de P' sont les points d'intersection de ce cercle avec celui de diamètre OP'.
Et puis, la tangente à l'ellipse est simplement la droite PJ, J étant l'intersection de la tangente au cercle P'M avec l'axe !
Enfin le point de contact T est sur la perpendiculaire en M à l'axe : intersection de PJ et MK

Constructions point par point

Outre les constructions précédentes en balayant les droites Δ, citons la méthode de la bande de papier.

On prend une bande de papier DE avec un point marqué M, DM = OB = b et ME = OA = a.
Faisons la glisser en astreignant D sur le grand axe et E sur le petit axe.
M décrit une ellipse :
OP' = EM = a, et HP' = HP donne HM/HP = HM/HP' = MD/OP' = b/a

Une autre méthode rapide de construction des points a été vue au début en utilisant un point P₁ du cercle mineur (de diamètre le petit axe)
(animation dans cette applet-ci)

On donne les droites des axes

Il faut alors construire les axes (leur longueur).

2 points donnés

Soient P et Q. La droite PQ coupe l'axe en I (sinon le problème est indéterminé)
Soient PU et QV les perpendiculaires à l'axe, H le milieu de UV.
La perpendiculaire en H à l'axe coupe le cercle de diamètre OI en M.
IM coupe PU en P' et QV en Q'. M est donc le milieu de P'Q'.
Comme OM perpendiculaire à IM, OM est la médiatrice de P'Q' et donc OP' = OQ' et le cercle de centre O passant par P' et Q' est le cercle principal.
Le petit axe s'obtient par OB/OA = VQ/VQ' = UP/UP'

1 point et sa tangente

La tangente Δ coupe l'axe en I. (indéterminé si elle ne coupe pas)
Le cercle de diamètre OI coupe la perpendiculaire HP à l'axe en M.
OM perpendiculaire à MI, et donc MI est tangente au cercle de centre O passant par M : c'est le cercle principal cherché.
Le petit axe s'obtient par OB/OA = HP/HM.
C'est en fait un cas dégénéré de la construction précédente avec P et Q confondus.

Foyers

La constructions des foyers connaissant les axes est un jeu d'enfant.
En tenant compte de la relation c² = a² - b², les foyers sont obtenus immédiatement :
La parallèle en B au grand axe coupe le cercle principal en C, la projection de C sur le grand axe est le foyer.