Hyperbole

fichier Géogebra Propriétés asymptotiques de l'hyperbole.

On peut déja considérer les asymptotes comme deux tangentes particulières : leur point de contact est à l'infini.
A part cette particularité, d'autres propriétés des tangentes s'appliquent aux asymptotes. Par exemple :

La projection Q d'un foyer sur une asymptote est sur le cercle principal.
Donc OQ = a
Le produit des distances des foyers à une asymptote est égal à b²
FQ.F'Q' = b², soit FQ = F'Q' = b
La tangente au sommet a pour longueur 2b (entre les asymptotes) :
AB = FQ

Rappel :
Equation de l'hyperbole rapportée à ses axes  x²/a² - y²/b² = 1 
a = OA = demi axe, c = OF = OF', a² + b² = c²

De façon analytique les directions des asymptotes à la conique ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 sont obtenues en résolvant a + bm + cm² = 0 (en coordonnées homogènes, Z=0).
Et elles se coupent au centre de la conique.

Si les axes du repère choisi sont les asymptotes, l'équation de l'hyperbole prend une forme très simple :  xy = k 

Si les asymptotes sont perpendiculaires, l'hyperbole est dite "équilatère".

Sécante à une hyperbole

fichier Géogebra Soit une sécante coupant l'hyperbole en M et N, et coupant les asymptotes en P et Q

 MN et PQ ont même milieu 

Ceci peut se montrer facilement de façon analytique, à partir de l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes :
Soit M et N les intersections de la droite x/a + y/b = 1 et de l'hyperbole xy = k.
Les abscisses de M et N sont donc solutions de x²/a + k/b = x ou encore x² - ax + ak/b = 0.
La somme des racines étant a, le milieu de MN a pour abscisse a/2, qui est aussi celle du milieu I de PQ :
P a pour coordonnées (a,0) et Q = (0,b).

Tangente

fichier Géogebra Par passage à la limite de la sécante précédente :

 Le point de contact est le milieu de PQ 

Normale

La normale est alors la médiatrice de la tangente limitée aux asymptotes.
Soient I et J les intersections de la normale avec les axes.

  OPQIJ cocycliques. 

Les axes étant les bisectrices des asymptotes, coupent la médiatrice de PQ sur le cercle circonscrit à OPQ.

Aire

Si (x,y) est le point de contact avec la tangente (sur l'hyperbole donc) P et Q ont pour coordonnées (2x, 0) (0,2y) et xy = k se traduit par
 OP.OP = 4k  et en multipliant par 1/2 sin(θ), angle des asymptotes :

 L'hyperbole est l'enveloppe des sécantes PQ avec Aire(OPQ) = constante 

 

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