On peut déja considérer les asymptotes comme deux tangentes
particulières : leur point de contact est à l'infini.
A part cette particularité, d'autres propriétés des tangentes
s'appliquent aux asymptotes. Par exemple :
La projection Q d'un foyer sur une asymptote est sur le cercle principal.
Donc OQ = a
Le produit des distances des foyers à une asymptote est égal à b²
FQ.F'Q' = b², soit FQ = F'Q' = b
La tangente au sommet a pour longueur 2b (entre les asymptotes) :
AB = FQ
Rappel :
Equation de l'hyperbole rapportée à ses axes x²/a² - y²/b² = 1
a = OA = demi axe, c = OF = OF', a² + b² = c²
De façon analytique les directions des asymptotes à la conique
ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 sont obtenues en résolvant
a + bm + cm² = 0 (en coordonnées homogènes, Z=0).
Et elles se coupent au centre de la conique.
Si les axes du repère choisi sont les asymptotes, l'équation de l'hyperbole prend une forme très simple : xy = k
Si les asymptotes sont perpendiculaires, l'hyperbole est dite "équilatère".
MN et PQ ont même milieu
Ceci peut se montrer facilement de façon analytique, à partir de l'équation de
l'hyperbole rapportée à ses asymptotes :
Soit M et N les intersections de la droite x/a + y/b = 1 et de l'hyperbole xy = k.
Les abscisses de M et N sont donc solutions de x²/a + k/b = x ou
encore x² - ax + ak/b = 0.
La somme des racines étant a, le milieu de MN a pour abscisse a/2, qui est aussi celle du milieu I de PQ :
P a pour coordonnées (a,0) et Q = (0,b).
Le point de contact est le milieu de PQ
OPQIJ cocycliques. |
Les axes étant les bisectrices des asymptotes, coupent la médiatrice de PQ sur le cercle circonscrit à OPQ.
L'hyperbole est l'enveloppe des sécantes PQ avec Aire(OPQ) = constante