Equation du quatrième degré

Par changement de variable, on peut toujours se ramener à l'équation canonique :
x4+ax2+bx+c = 0.

On cherche alors à écrire cette équation sous la forme (méthode de Descartes) :
(x2+px-u)(x2-px-v) = 0
En développant et en identifiant les deux formes, il vient :
-a = (u+v)+p2 et (u+v)2=(a+p2)2
b = p(u-v) et b2 = p2(u-v)2 = p2((u+v)2-4uv)
c = uv
Posons Z = p2 et éliminons (u+v)2 et uv du système précédent, il vient : b2 = Z((a+Z)2-4c)
Et l'équation résolvante du troisième degré :

  Z3+2aZ2+(a2-4c)Z-b2 = 0  

Chacune des 3 solutions de cette équation donne un jeu de valeurs pour p, u et v. Mais globalement ceci revient à permuter les racines de l'équation du 4ème degré et on peut choisir par convention la racine Z1.
Alors (x1,x2) sont racines de x2+px-u = 0 et (x3,x4) sont racines de x2-px-v = 0
En particulier x1+x2 = -p = -√Z1 et x3+x4 = p = √Z1
En permutant les racines il vient de même :
x1+x3 = -√Z2,   x2+x4 = √Z2    et   x1+x4 = -√Z3,   x2+x3 = √Z3
Par combinaison linéaires de ces formules on obtient les solutions de l'équation du 4ème degré :

 x1 = 1/2 (-√Z1-√Z2-√Z3)
 x2 = 1/2 (-√Z1+√Z2+√Z3)
 x3 = 1/2 (√Z1-√Z2+√Z3)
 x4 = 1/2 (√Z1+√Z2-√Z3)
 avec Zi solutions de Z3+2aZ2+(a2-4c)Z-b2 = 0 

Comme pour l'équation du 3ème degré, les formules qui en résultent sont pratiquement inutilisables et la résolution pratique d'une équation du 4ème degré se fait par calcul numérique, sauf cas particuliers ou solutions évidentes.
Un script de calcul par la méthode de Newton.

On notera aussi que si des formules à radicaux existent effectivement pour les équation générales de degré 2, 3 et 4, il ne peut exister aucune formule générale pour les équations de degré 5 et plus (voir Abel et Galois).

 

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