Equation du troisième degré

Soit l'équation générale ax³+bx²+cx+d = 0. En divisant par a, puis par changement de variable x = y+h :
(y+h)³+b(y+h)²/a+c(y+h)/a+d/a = 0. En développant, le terme en y² est (3h+b/a)y²,
on peut alors choisir h = -b/3a pour obtenir l'équation canonique :

x3+px+q = 0.

Posons x = u+v : u³+v³+3uv(u+v)+p(u+v)+q = 0
En imposant 3uv+p = 0, il vient u³+v³ = -q et u³v³ = -p³/27
u³ et v³ sont alors solution de:
Z²+qZ-p³/27 = 0 (équation résolvante)
Cette équation étant du second degré, on sait la résoudre. Son déterminant est Δ = q²+4p³/27 = 4(q²/4+p³/27)
Soit u₀³, v₀³ sa solution.
Posons ε = (-1+i√3)/2 une racine cubique primitive de 1. Toutes les solutions de X³ = 1 sont 1, ε et ε ²
De plus ε ² = (-1-i√3)/2 est le conjugué de ε et εε ² = ε ³ = 1
On peut alors écrire les formules de Cardan donnant les solutions de l'équation du 3^ème degré :

Si Δ est positif, u₀³ et v₀³ sont réelles, x₀ = u₀+v₀ aussi, x₁ et x₂ sont imaginaires conjuguées
Si Δ<0, u₀ et v₀ sont imaginaires conjugués et les 3 racines sont réelles.

Malheureusement, cette méthode de résolution théorique offre peu d'intérêt pratique.
Prenons comme exemple (x-1)(x-2)(x+3) = x³-7x+6 = 0 qui posséde les solutions simples 1,2 et -3
Δ = -400/27 est négatif, les 3 racines sont réelles.
Quant à trouver une racine cubique de -3 ± i√(100/27), c'est une autre paire de manches.
Même avec Δ > 0, par exemple (x-1)(x²+x+2) = x³+x-2 = 0, qui possède la solution réelle simple 1 et deux solutions imaginaires conjuguées.
Δ = 4x28/27. Pourtant allez donc calculer que :

Pratiquement la résolution de l'équation du 3^ème degré s'effectue par aproximations numériques, à moins de trouver une racine "évidente" (du genre 0, 1, -1 etc)
Un script de calcul par la méthode de Newton.