Equation du second degré

Résolution de l'équation ax²+bx+c = 0

  Δ = b² - 4ac     x = (-b ± √Δ)/2a  

Si Δ>0 il y a deux racines.
Si Δ = 0, les deux racines sont confondues
Si Δ<0, il n'y a pas de solution réelles. Les deux solutions sont des nombres complexes conjugués x = (-b ± i√|Δ|)/2a

La démonstration de ces formules est élémentaire :
ax²+bx+c = 0 peut s'écrire a(x + b/2a)² - ab²/4a² + c = 0 ou encore :
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a² et x +b/2a = ±√Δ/2a

Somme et produit des racines, fonctions symétriques

La somme des racines est -b/a, le produit des racines est c/a
Toute fonction symétrique des racines (qui est inchangée si on échange les deux racines) est exprimable en fonction de leur somme S = -b/a et de leur produit P = c/a.
Par exemple x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=S²-2P
Un peu plus difficile à exprimer est |x1-x2| (Solution) ou cos(x1-x2) (Solution)

Equations à coefficients rationnels

Si a, b et c sont rationnels, en multipliant par le dénominateur commun, on peut même imposer que a,b,c soient entiers.
Alors la solution sera un nombre rationnel si et seulement si  Δ = b² - 4ac est un carré parfait.
Sinon les solutions sont des "nombres quadratiques"

 

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