Equation du second degré
Résolution de l'équation ax²+bx+c = 0
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Δ = b² - 4ac x = (-b ± √Δ)/2a
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Si Δ>0 il y a deux racines.
Si Δ = 0, les deux racines sont confondues
Si Δ<0, il n'y a pas de solution réelles. Les deux solutions sont des nombres complexes conjugués
x = (-b ± i√|Δ|)/2a
La démonstration de ces formules est élémentaire :
ax²+bx+c = 0 peut s'écrire a(x + b/2a)² - ab²/4a² + c = 0 ou encore :
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a² et x +b/2a = ±√Δ/2a
Somme et produit des racines, fonctions symétriques
La somme des racines est -b/a, le produit des racines est c/a
Toute fonction symétrique des racines (qui est inchangée si on échange les deux racines)
est exprimable en fonction de leur somme S = -b/a et de leur produit P = c/a.
Par exemple x
1²+x
2²=(x
1+x
2)²-2x
1x
2=S²-2P
Un peu plus difficile à exprimer est |x
1-x
2|
(
Solution)
ou cos(x
1-x
2)
(
Solution)
Equations à coefficients rationnels
Si a, b et c sont rationnels, en multipliant par le dénominateur commun, on peut même imposer que a,b,c soient entiers.
Alors la solution sera un nombre rationnel si et seulement si
Δ = b² - 4ac est un carré parfait.
Sinon les solutions sont des "nombres quadratiques"
