Fractions Egyptiennes

On appelle ainsi des fractions dont le numérateur vaut 1 car c'était les seules connues dans l'ancienne Egypte. On les apelle aussi fractions unitaires. Ainsi 2/3 n'est pas une fraction Egyptienne, mais on peut représenter 2/3 comme une somme de fractions Egyptiennes, par exemple 2/3 = 1/2 + 1/6. Il existe de nombreuses représentations de 2/3.
L'identité 1/a = 1/(a+1) + 1/(a(a+1)) en fournit déja une infinité.
1/2 = 1/3 + 1/6 donne 2/3 = (1/3 + 1/6) + 1/6 et comme 1/6 = 1/7 + 1/42 on obtient 2/3 = 1/3 + 1/6 + 1/7 + 1/42.
Comme la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +...+ 1/n est divergente, on peut représenter en fait tout nombre, même plus grand que 1. Mais le nombre de termes devenant vite astronomique on se restreint à 0<x<1.

On peut chercher la représentation "normale" en imposant des contraintes supplémentaires.
Le plus logique semble être de choisir à chaque fois la composante la plus grande possible, c'est à dire le dénominateur le plus petit possible. x = 1/a + r avec a minimum et 0≤r<1 donne a = 1/x, valeur entière par excès de 1/x. On recommence avec le reste r en prenant 1/r
Exemple 4/17 : 17/4 = 5 par excès, reste 4/17 - 1/5 = 3/(5×17). Le terme suivant est (5×17)/3 = 29 par excès.
Reste 3/(5×17) - 1/29 = 2/(5×17×29) et le terme (5×17×29)/2 = 1233 par excès, puis un reste de :
2/(5×17×29) - 1/1233 = 1/(5×17×29×1233) qui est une fraction Egyptienne et c'est donc fini :
4/17 = 1/5 + 1/29 + 1/1233 + 1/3039345.
Noter que ce n'est pas forcément la plus "simple" représentation puisqu'on a : 4/17 = 1/5 + 1/30 + 1/510 avec 3 termes seulement, et le plus grand dénominateur 510.

Application

Citons comme application ludique le problème des chameaux qui conduit à écrire 1 sous forme de série Egyptenne.
Par exemple 1 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 qui donne 19 chameaux à partager en 3 héritiers ayant 1/2, 1/4 et 1/5 des 19 chameaux.

Un programme de calcul des fractions Egyptiennes.

Série de Engel

On peut écrire 4/17 = 1/5 + 3/(5×17) = 1/5 × (1+3/17), la décomposition de 3/17 donne 3/17 = 1/6 × (1+1/17) et finalement :
4/17 = 1/5 + 1/(5×6) + 1/(5×6×17) soit 1/5 + 1/30 + 1/510, qui est bien cette fois la plus simple pour notre exemple.

Une "série de Engel" est la représentation d'un nombre sous la forme :
x = 1/a1 × (1 + 1/a2 × (1 + 1/a3 × (1 + 1/a4 (... = 1/a1 + 1/(a1a2) + 1/(a1a2a3) + 1/(a1a2a3a4) + ... avec a1≥2 et an+1≥an
C'est sous cette forme (développements unitaires normaux) que l'on considère la forme "normale" d'une décomposition en fractions Egyptiennes.

Série de Sylvester

Il existe bien d'autres façons de "normaliser" les développements unitaires, comme par exemple les séries de Sylvester. .../...

 

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