Somme des diviseurs - Formules

Si N = ∏pm est la décomposition en nombres premiers de N, les diviseurs de N sont obtenus en choisissant des exposants entre 0 et m pour chaque facteur p de toutes les façons possibles. Le nombre de diviseurs de N, 1 et N inclus, est donc :

∏(m+1)

Par exemple le nombre 600 = 23×3×52 possède (3+1)(1+1)(2+1) = 24 diviseurs.
Si on développe le produit ∏p (∑i pi), où dans chaque somme ∑ : 0 ≤ i ≤ m pour ce facteur p, chaque terme du développement est obtenu en choisissant un exposant pour chaque facteur p, c'est donc un diviseur de N et leur somme est alors la somme des diviseurs de N, puisqu'on obtient ainsi tous les diviseurs.
∑pi s'écrit aussi (pm+1-1)/(p-1) comme somme d'une progression géométrique de raison p, et en définitive :

S = ∏p (∑i pi) = ∏(pm+1-1)/(p-1)

Par exemple N = 600 : S = (1+2+4+8)(1+3)(1+5+25) = (16-1) × (9-1)/2 × (125-1)/4 = 1860

Calcul de la somme des diviseurs

Parlons un peu des nombres parfaits. Les nombres parfaits impairs sont jusqu'ici totalement inconnus, on sait seulement que s'il y en a, ils ont au moins 300 chiffres ! Par contre les nombres parfaits pairs sont connus depuis Euclide, et Euler a même démontré qu'ils sont tous obtenus par :

2(p-1)(2p-1) avec 2p-1 premier

Le nombre 2p-1 n'est pas premier pour tous les exposants p.
Il est nécessaire que p soit premier mais ce n'est pas suffisant, par exemple 211-1 = 2047 = 23x89.
Les nombres Mp = 2p-1 sont premiers (nombres de Mersenne) pour p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31...
Soit les nombres de Mersenne 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647...
et les nombres parfaits :

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128...

Autres curiosités

Il existe d'autres curiosités liées à la somme des diviseurs :

Problème inverse

C'est à dire trouver un nombre N connaissant la somme S de ses diviseurs.
Le problème se résoud en cherchant les diviseurs de S de la forme ∑pi, avec p premier.

Par exemple chercher les nombres dont la somme des diviseurs est 56 :
Cherchons tous les diviseurs de 56 = 2³×7 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 et 56.
Cherchons ceux qui sont de la forme Q = 1+p+...pn.
Pour tester si un nombre q est de la forme Q, on cherche les facteurs premiers p de q-1.
Pour chacun, on teste si q(p-1)+1 est une puissance de p.

Par exemple soit à tester si q=31 est un nombre Q : 31-1 = 30 = 2x3x5
    p = 2 : 31×1+1 = 32 = 25 et 31 = 1+2+4+8+16
    p = 3 : 31×2+1 = 63 n'est pas une puissnce de 3
    p = 5 : 31×4+1 = 125 = 53 et 31 = 1+5+25
Donc 31 est de la forme Q de deux façons différentes.

Les seuls diviseurs de 56 qui sont de la forme Q = 1+p+...pn sont :
    4 = 1+3
    7 = 1+2+4
    8 = 1+7
    14 = 1+13

Les ensembles de diviseurs complets de 56 sont : 56 = 1×56 = 2×28 = 4×14 = 8×7 = 2×2×14 = 2×4×7 = 2×2×2×7.
Seules les décompositions 4×14 et 8×7 ne sont formées que de nombres Q.
4×14 = (1+3)(1+13) conduit à N = 3×13 = 39
8×7 = (1+7)(1+2+4) conduit à N = 7×4 = 28

Tout ceci ne marche plus si on donne la somme S des diviseurs propres de N au lieu de la somme de tous les diviseurs. Mais ceci est une autre histoire...

Annexe 1 : Vérification du nombre de Frenicle

n = 236 × 38 × 55 × 77 × 11 × 132 × 19 × 312 × 43 × 61 × 83 × 223 × 331 × 379 × 601 × 757 × 1201 × 7019 × 112303 × 898423 × 616318177

On vérifie tout d'abord que les nombres sont tous premiers (pas évident à la main ! Le programme de calcul de la somme des diviseurs fournit comme sous produit la décomposition en facteurs premiers)
La somme de tous les diviseurs de n est alors :
S = (237-1) × (39-1)/2 × (56-1)/4 × (78-1)/6 × 12 × (133-1)/12 × 20 × (313-1)/30 × 44 × 62 × 84 × 224 × 332 × 380 × 602 × 758 × 1202 × 7020 × 112304 × 898424 × 616318178.
il faut redécomposer en nombres premiers chacun de ces facteurs :

237-1 = 223×616318177  (39-1)/2 = 9841 = 13×757
(56-1)/4 = 3906 = 2×32×7×31  (78-1)/6 = 960800 = 25×52×1201
12 = 22×3  (133-1)/12 = 183 = 3×61
20 = 22×5  (313-1)/30 = 993 = 3×331
44 = 22×11  62 = 2×31
84 = 22×3×7  224 = 25×7
332 = 22×83  380 = 22×5×19
602 = 2×7×43  758 = 2×379
1202 = 2×601  7020 = 22×33×5×13
112304 = 24×7019  898424 = 23×112303
616318178 = 2×73×898423
On regroupe tous les facteurs premiers :
S = 237 × 39 × 55 × 77 × 11 × 132 × 19 × 312 × 43 × 61 × 83 × 223 × 331 × 379 × 601 × 757 × 1201 × 7019 × 112303 × 898423 × 616318177 = 6n.
La somme des diviseurs propres est S - n = 5n CQFD.

 

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