Formule d'Euler

Dans un polyèdre convexe, le nombre de faces F, le nombre de sommets S et le nombre d'arêtes A sont liés par :

  S+F=A+2  

Par exemple un cube possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes : 8+6=12+2

Démonstration

Par récurence. Considérons une surface polyèdrale convexe ouverte terminée par une ligne brisée, plane ou non.
La formule à démonter devient : S+F=A+1.
Cette formule est exacte dans le cas d'une seule face (=un polygone) où F=1 et S=A.
Si on ajoute un polygone à m côtés et m sommets, touchant la frontière de la surface par p arêtes communes, elle aura p+1 sommets communs et F devient F'=F+1, S devient S'=S+m-(p+1) et A devient A'=A+m-p,
Par suite F'+S'-A'=F+S-A=1.
On termine en fermant le polyèdre avec une dernière face qui donne F'=F+1, A'=A et S'=S soit la formule cherchée.

Applications

Polyèdres avec trous

La formule n'est plus vraie pour des polyèdres avec trous, ou formés de plusieurs morceaux.

 

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