Formule d'Euler

Dans un polyèdre convexe, le nombre de faces F, le nombre de sommets S et le nombre d'arêtes A sont liés par :

S+F=A+2

Par exemple un cube possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes : 8+6=12+2

Démonstration

Par récurence. Considérons une surface polyèdrale convexe ouverte terminée par une ligne brisée, plane ou non.
La formule à démonter devient : S+F=A+1.
Cette formule est exacte dans le cas d'une seule face (=un polygone) où F=1 et S=A.
Si on ajoute un polygone à m côtés et m sommets, touchant la frontière de la surface par p arêtes communes, elle aura p+1 sommets communs et F devient F'=F+1, S devient S'=S+m-(p+1) et A devient A'=A+m-p,
Par suite F'+S'-A'=F+S-A=1.
On termine en fermant le polyèdre avec une dernière face qui donne F'=F+1, A'=A et S'=S soit la formule cherchée.

Applications

• Polyèdres réguliers
  Si toutes les faces sont identiques, à p>2 côtés et tous les sommets sont identiques, avec q arêtes, on a :
  2A=pF=qS et par suite A(2/p+2/q-1)=2 ou A=2pq/(2p+2q-pq) doit être un nombre entier positif.
  p+q>pq/2 donne q<2p/(p-2) fonction qui pour p>2 est décroissante. Sa valeur maximale est alors pour p=3 et donc q<6. Donc (p,q)={3,4,5} donne un nombre fini de cas possibles, et finalement les seuls où A est entier :
  • p=3 q=3 : tétraèdre à 4 faces triangulaires
  • p=3 q=4 : octaèdre à 8 faces triangulaires
  • p=3 q=5 : icosaèdre à 20 faces triangulaires
  • p=4 q=3 : hexaèdre à 6 faces carrées (ou cube)
  • p=5 q=3 : dodécaèdre à 12 faces pentagonales

• Ballon de football

Polyèdres avec trous

La formule n'est plus vraie pour des polyèdres avec trous, ou formés de plusieurs morceaux.