Droite et cercle d'Euler

Propriétés de l'orthocentre

Soit X le point tel que OX^> = OA^> + OB^> + OC^>
OX^> - OA^> = OB^> + OC^>. Soit, M étant le milieu de BC : AX^> = 2 OM^>, AX est donc parallèle à la médiatrice OM, et donc AX est la hauteur du triangle ABC, de même pour les autres sommets, et donc X est en fait l'orthocentre H.

 AH^> = 2 OM^>   [1] 

Soit A' l'intersection de OA et MH. [1] ⇒ A' est le centre de l'homothétie de rapport 2 transformant O,M en A,H et donc O est le milieu de AA' ⇒ A' est sur le cercle circonscrit. De plus M est le milieu de HA'.

Soit H' l'intersection de AH avec le cercle circonscrit. AH' est perpendiculaire à A'H', donc A'H' parallèle à BC. Dans le triangle HH'A', comme M est le milieu de HA', K est le milieu de HH'.

Le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit  Le symétrique de l'orthocentre par rapport au milieu d'un côté est sur le cercle circonscrit

Droite d'Euler

Soit G l'intersection de OH et AM. [1] ⇒ G est le centre de l'homothétie de rapport -2 transformant O en H et M en A.
Donc GM = 1/3 AM, et G est le centre de gravité du triangle ABC (isobarycentre).

Le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont alignés sur la Droite d'Euler   GH> = -2.GO>  [2]

Cercle d'Euler

Etudions l'homothétie de centre G et de rapport -1/2.
Elle transforme O en le milieu ω de OH, et le cercle circonscrit en un cercle Γ, de centre ω, de rayon R/2.
Elle transforme A en M et de même pour B et C transformés en les milieux respectifs de AC et AB.
Le cercle Γ est donc le cercle circonscrit au triangle médian (triangle des milieux).
L'homothétie de centre G transforme A' en le milieu N de AH, car G est le centre de gravité du triangle AHA' : intersection des médianes AM (M milieu de HA') et HO (droite d'Euler).

Il existe une autre homothétie transformant le cercle circonscrit en le cercle Γ : elle transforme O en ω et à pour rapport +1/2. Le centre de cette homothétie est donc H (HO = 2Hω, avec [2])
Dans cette homothétie, le point H' est transformé en K milieu de HH', donc K est aussi sur Γ.
(noter qu'elle transforme A' en M, déja vu comme étant sur Γ)

Les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments joignant l'orthocentre   aux sommets sont sur un même cercle, appelé cercle des neuf points ou cercle d'Euler   Son centre est le milieu de OH, son rayon R/2

Il existe bien d'autres points remarquables sur la droite et sur le cercle d'Euler d'un triangle.
D'après l'encyclopédie ETC des points remarquables, il y a 222 points remarquables sur la droite d'Euler !
Bien entendu, le centre (ω milieu de OH) du cercle d'Euler est sur la droite d'Euler OH.
Parmi les points connus du cercle d'Euler, citons les points de Feuerbach : points de contact avec les cercles inscrits et exinscrits.
Mais il y en a une 30aine d'autres. La plupart sont des transformés par l'une des homothéties précédentes de points remarquables sur le cercle circonscrit.
C'est à dire en considérant le cercle d'Euler comme le cercle circonscrit du triangle orthique (triangle formé par les pieds des hauteurs), ou du triangle médian.