Cercle inscrit - relation d'Euler - théorème de Feuerbach

Notations : le triangle ABC a pour côtés AB = c, BC = a et AC = b
Soit son demi périmètre p = (a+b+c)/2
r le rayon du cercle inscrit de centre I, R le rayon du cercle circonscrit de centre O.
r_a le rayon du cercle exinscrit dans l'angle A, de centre J_a etc...

Centres

Les centres sont les points de concours des bisectrices. Les bisectrices intérieures et extérieures étant perpendiculaires, les angles en B et C du quadrilatère BICJ_a sont droits :

 les points I,J_a,B,C sont cocycliques 

Soit K le milieu de l'arc BC du cercle circonscrit. Il est sur la médiatrice donc KB = KC. Il est sur la bisectrice et les angles inscrits KBC = KAC = A/2. On a aussi CBI = B/2 et donc l'angle KBI = (A+B)/2
Comme BKA = BCA = C, ceci donne l'angle BIK = (A+B)/2 et donc le triangle BKI isocèle et KB=KI.
Donc K est le centre du cercle BICJ_a

Le milieu de IJ_a est sur le cercle circonscrit

Points de contact

Comme 2p = (BA' + A'C) + (CB' + B'A) + (AC' + C'B), et que les tangentes sont égales :
BA' = BC' = p - b, CA' = CB' = p - c, AB' = AC' = p - a
et AC" = AB" = p, CA" = CB" = p - b, BA" = BC" = p - c

On en déduit immédiatement que A'A" et BC ont même milieu M

Comme A' et C' sont symétriques par rapport à BI, A'C' est parallèle à BJ_a et   Les triangles A'B'C' et J_aJ_bJ_b sont semblables

Mentionons l'application directe du théorème de Ceva :
Les droites joignant les sommets aux points de contact du cercle inscrit sont concourantes (point de Gergonne).

Les droites joignant les sommets aux points de contact intérieurs avec les cercles exinscrits sont concourantes (Point de Nagel).

Rayon

L'aire des triangles S(ABS) = S(AIB) + S(BIC) + S(AIC) = a.r/2 + b.r/2 + c.r/2, soit   S = p.r
De même pour le cercle exinscrit S = 1/2 (b + c - a).r_a soit S = (p-a).r_a
Si on met en relation ces formules avec la formule de Heron S = √p(p-a)(p-b)(p-c) on obtient :

r = √(p-a)(p-b)(p-c)/p    et pour le cercle exinscrit : r_a = √p(p-b)(p-c)/(p-a)

On en tire aussi les formules :

S = √(r.r_a.r_b.r_c)    et 1/r = 1/r_a + 1/r_b + 1/r_c

Relation d'Euler

Calculons IK.IA, c'est à dire la puissance de I par rapport au cercle circonscrit, OI² - R².
Soit Q le point diamètralement opposé à K sur le cercle circonscrit. Les angles inscrits BQK et BAK sont égaux, le triangle BQK est rectangle en B et donc semblable au triangle C'AI, donc BK/C'I = KQ/IA, soit BK.IA = 2Rr
Comme IK = BK (K centre du cercle BICJ_a), le produit IK.IA = 2Rr, et comme I est entre A et K, IK.IA = -2Rr et la "relation d'Euler" :

OI² - R² = -2Rr soit : OI² = R² - 2Rr

Un calcul semblable avec le cercle exinscrit donne OJ_a² = R² + 2Rr_a

Théorème de Feuerbach

Soit K l'intersection de la bisectrice et du côté BC.
BC est tangente commune aux cercles inscrit et exinscrit.
La deuxième tangente commune δ, symétrique par rapport à la droite des centres IJ, passe par K. Cette droite est antiparallèle au côté BC par rapport aux deux autres côtés.
Elle est donc parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit.

Dans le triangle BKA, les bisectrices de l'angle B coupent le côté AK en I et J, et la division (AKIJ) est donc harmonique : IK/IA = JK/JA = BK/BA
La projection sur la droite BC donne une division harmonique (HKA'A")
Comme M est le milieu de BC et de A'A", MA'² = MA"² = MK.MH
MA'² est aussi la puissance de M par rapport au cercle inscrit et MA"² la puissance par rapport au cercle exinscrit.

Considérons l'inversion de pole M et de puisance MA'² = MA"². Elle conserve donc les cercles inscrits et exinscrits. Elle transforme δ en un cercle passant par le pole M et par l'inverse de K, donc H (puisque MK.MH = MA'²), et encore tangent aux cercles inscrits et exinscrits.
La tangente en M à ce cercle est parallèle à δ, donc parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit.

D'autre part, considérons le cercle d'Euler du triangle ABC. Ce cercle passe par M et H. L'homothétie de centre G (centre de gravité) et de rapport -1/2 transforme le cercle circonscrit en le cercle d'Euler, et le point A en M.
La tangente en M au cercle d'Euler est donc parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit (homothétie !)
Les deux cercles considérés ici : le cercle d'Euler et l'inverse de δ passent donc tous deux par M et H, et ont la même tangente en M, ce sont donc le même cercle. D'où le théorème de Feuerbach :

Le cercle d'Euler est tangent aux cercles inscrit et exinscrits

Les points de contact sont nommés "points de Feuerbach"