Inversion

Etant donné un pole O et une puissance k, l'inversion est la transformation géométrique qui à tout point M du plan (différent de O) fait correspondre le point M' de la droite OM tel que OM.OM' = k. k peut être positif ou négatif.

Inversion de puissance positive - cercle d'inversion

Lorsque la puissance est positive, on peut l'appeler k = R²
Alors M = M' ssi OM = R : le lieu des points fixes de l'inversion est le cercle de centre O de rayon R. Un point intérieur au cercle est transformé en un point extérieur et vice versa.

Considérons les points d'intersection A et B de OM avec le cercle d'inversion. OM.OM' = OA² = OB² permet d'affirmer que la division (ABMM') est harmonique.

Une inversion de puissance positive R² est équivallente à :  M' est le conjugué harmonique de M, sur la droite OM, par rapport au cercle d'inversion   (en d'autres termes, M' est le pied de la polaire de M)

Inversion de puissance négative

Avec k = -R², les points du cercle de centre O et de rayon R sont transformés en le point diamètralement opposé du même cercle : le cercle d'inversion est globalement inchangé.
Une inversion de puissance négative peut être considérée comme une inversion de puissance +R² suivie d'une symétrie par rapport à O (homothétie de rapport -1).
Certains considèrent ainsi exclusivement les inversions de puissance positive, se privant de la généralisation à des puissances d'inversion quelconques.

Composition de deux inversions

La composition de deux inversions de même pole est une homothétie. Noter que cette composition n'est pas commutative.
Soit ℑ₁, de puissance k₁ et ℑ₂ de puissance k₂, alors OM.OM' = k₁ suivi de OM'.OM" = k₂ donne par division membre à membre :
OM"/OM = k₂/k₁ donc ℑ₂∘ℑ₁ est l'homothétie de rapport k₂/k₁
Alors que ℑ₁∘ℑ₂ est l'homothétie inverse de rapport k₁/k₂.
L'inversion est une transformation involutive : ℑ∘ℑ = I, l'identité.
Les points M et M' sont ainsi inverses l'un de l'autre.
Le produit d'une inversion de puissance k par une homothétie de rapport r est une inversion de puissance r.k

On ne peut rien dire ici de la composition de deux inversions de pole différents.

Propriétés topologiques et angulaires

Il est évident que si deux courbes se coupent en M, les inverses des deux courbes se coupent en M', inverse de M.
Par passage à la limite d'une sécante : si deux courbes sont tangentes en M, les inverses des deux courbes sont tangentes en M', inverse de M.
Ceci est l'illustration d'une propriété plus générale :

Si deux courbes se coupent en M en faisant un angle α (angle des tangentes)   les inverses se coupent en M' inverse de M sous l'angle π - α

En fait au voisinage de M et M', une courbe et son inverse (leur tangentes) sont symétriques par rapport à la médiatrice de MM'.
Soit MP une sécante à la courbe Γ et M'P' la sécante correspondante de la courbe Γ' inverse de Γ, c'est à dire que M et M' sont inverses l'un de l'autre, et de même P et P'.
Alors k = OM.OM' = OP.OP' montre que MM'PP' sont cocycliques. Soit (C) le cercle MPM'P'. En passant à la limite, les sécantes deviennent tangentes en M à Γ et en M' à Γ'.
Le cercle (C) → (γ) ayant en M et M' les mêmes tangentes, donc ces tangentes sont symétriques par rapport à la médiatrice de la corde MM' de ce cercle (γ).

Une autre conséquence est que si deux courbes sont orthogonales en M, leurs inverses sont orthogonales en M' inverse de M (π - π/2 = π/2).

Propriétés métriques

Soit A,B deux points et A',B' leurs inverses. Calculons A'B' en fonction de AB. En fait il n'y a pas de relation directe entre AB et A'B', cela dépend de la distance de A,B au pole !
Plus précisément : Les points A,B,A',B' étant cocycliques, les triangles OAB et OB'A' sont semblables.
Soit : A'B'/BA = OA'/OB = (OA.OA') / (OA.OB) = |k|/(OA.OB)

  A'B' = AB × |k|/(OA.OB) 
Si O,A,B alignés, A' et B' sont sur la même droite et on calcule directement pour obtenir la même relation.
Mais dans ce cas on a plus précisément : A'B'/AB = -k/(OA.OB)

Inverses de cercles et droites

Une droite passant par le pole d'inversion est bien entendu globalement inchangée.
Si la droite ne passe pas par O, soit A la projection de O sur la droite et A' son inverse.
Soit M un point courant de la droite et M' son inverse.
OM.OM' = OA.OA' indique que MM'AA' sont cocycliques, et donc l'angle MM'A' est un angle droit. Le triangle OM'A' étant rectangle, le lieu de M' est le cercle de diamètre OA'

L'inverse d'une droite (d) ne passant pas par le pole O est   un cercle de centre ω passant par le pole (et réciproquement).  Oω est perpendiculaire à (d)

De la relation OA.OA' = k et OA' = 2Oω, on tire k = (2OA).Oω = OO'.Oω
Le centre du cercle ω est l'inverse du symétrique O' du pole par rapport à la droite.
Nota : si la droite et son cercle inverse se coupent, les points d'intersection sont des points fixes, donc sont sur le cercle d'inversion (la puissance est positive).

Soient A et B les extémités du diamètre aligné avec O, A' et B' leurs inverses. M un point courant du cercle, M' son inverse. N l'autre intersection de OM avec le cercle et N' son inverse.
Alors AA'MM' sont cocycliques, ou en d'autres termes AM et A'M' sont antiparallèles par rapport à OM et OA.
D'autre part dans le cercle (C), AM et NB sont antiparallèles par rapport aux mêmes droites, donc M'A' est parallèle à NB. M' est donc l'image de N dans l'homothétie de centre O de rapport OA'/OB.
Quand M, donc N, parcourt le cercle (C), M' parcourt le cercle homothétique (C')

L'inverse d'un cercle ne passant pas par le pole est un cercle homothétique.

A'B' = 2R' étant l'inverse de AB = 2R, on en tire : R' = R× |k|/(OA.OB) et comme OA.OB est la puissance de O par rapport à (C), notée C(O)

 R' = R |k/C(O)| 

Comme l'inversion est involutive, (C) est l'inverse de (C') et R = R' |k/C'(O)|, on en tire :

 R'²/C'(O) = R² /C(O)   et  k² = C(O).C(O') 

On notera que le centre ω' du cercle inverse n'est pas l'inverse de ω
En fait, Oω' = (OA'+OB')/2 = k/2 (1/OA + 1/OB)
Soit P le conjugué harmonique de O par rapport à A,B (P est le pied de la polaire de O par rapport à (C)) : 2/OP = 1/OA + 1/OB et donc : Oω' = k/OP

 Le centre du cercle inverse est l'inverse du pied de la polaire de O 

Inversions conservant un cercle, échangeant deux cercles

De la relation OM.OM' = k, on en déduit M et M' sont sur le même cercle ssi OM.OM' = C(O), puissance de O par rapport au cercle et donc :

 Un cercle est globalement inchangé ssi k = C(O) 

Si k est positive, ceci est équivallent à :
OM.OM' = OT² = C(O), OT perpendiculaire à Tω.

 Un cercle est globalement inchangé ssi il est orthogonal au cercle d'inversion (k>0) 

Les deux cercles inverses l'un de l'autre sont aussi homothétiques par rapport au pole d'inversion, il y a donc deux inversions qui échangent deux cercles donnés, leurs poles sont les centres d'homothéties I et J de ces deux cercles. Si les cercles sont tangents, le point de contact est le deuxième centre d'homothétie, mais alors il ne convient pas car il est sur les cercles (il transforme ceux-ci en deux droites parallèles). Dans ce cas il n'y a qu'une inversion échangeant les deux cercles.

Choix et applications de l'inversion

L'inversion est utile dans les problèmes mettant en jeu des cercles et les propriétés de tangence avec des droites/cercles.
On peut alors judicieusement choisir l'inversion pour simplifier le problème, en transformant un cercle en une droite, deux cercles quelconques en cercles concentriques etc...

Transformer deux cercles en cercles concentriques :

Bien sûr des cercles ne se coupant pas ! (l'inversion conserve les propriétés d'intersection)
Soit Δ l'axe radical des deux cercles (lieu des points ayant même puissance par rapport aux deux cercles). P un point de l'axe radical. Il est le centre d'un cercle Γ orthogonal aux deux cercles donnés : PT₁² = PT₁²
Γ coupe la droite des centres en I et J qui sont les points limites du faisceau défini par C₁ et C₂.
Une inversion de pole I transforme Γ en une droite d, et les cercles C₁ et C₂ en deux cercles C'₁ et C'₂, d est orthogonale à C'₁ et C'₂ (propriétés angulaires).
Soit ω l'inverse de J (intersection de d avec la ligne des centres).
Le faisceau des droites d, passant par ω est formé de droites toutes perpendiculaires à C'₁ et C'₂, ces deux cercles sont donc concentriques, de centre ω
Ici la puissance d'inversion a été choisie pour conserver le cercle C'₁ = C₁ : l'inverse de T₁ est T'₁ sur C₁, et donc d passe par T'₁, et est perpendiculaire à PI.
C'₂ est construit de même avec T'₂, intersection de T₂I avec d.

Nota : Ici C₂ est intérieur à C₁, mais la construction fonctionne aussi bien entendu si C₂ est un cercle du faisceau, "de l'autre côté" de l'axe radical.
Ceci conduit à la construction d'une chaine de Steiner "hyperbolique" :

    Gif animé (700K)

Les deux points bleus O et r, déplaçables, permettent de cadrer et de zoomer.
La chaine "triviale" concentrique (cyan) est entre les cercles de rayon r et R = 3r.
P déplaçable permet de faire tourner manuellement la chaine à l'arret.
I déplaçable est le pole d'inversion. L'inversion conserve le cercle extérieur de la chaine "triviale", et transforme tout le reste.
Si le pole est à l'intérieur du petit cercle ou à l'extérieur du grand, c'est une chaine de Steiner "classique".
Tel que placé à l'initialisation de l'applet, l'inverse du petit cercle est dans "l'autre moitié" du faisceau, conduisant à une chaine de Steiner "hyperbolique" (les centres des cercles rouges sont sur une hyperbole).
En vert la construction des inverses des points de contact et des cercles cyan → cercles rouges :
Soit T le point de contact (trivial, sur OP) du cercle de centre P avec le grand cercle.
Alors T' est l'autre intersection de IT avec le grand cercle (globalement invariant).
Le centre du cercle inverse rouge est donc à l'intersection de OT' et PI.
La construction échoue quand ces deux droites sont parallèles (le cercle rouge devient une droite, car le cercle cyan passe par I) ou confondus (le centre du cercle rouge est sur OI).
Dans les deux cas, il faut utiliser une construction différente,