Conjugué harmonique

Par rapport à deux droites

Soient deux droites d1 et d2. Deux points M et N sont dits conjugués harmoniques par rapport à d1 et d2 pour exprimer le fait que M et N sont conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersections A,B de MN avec d1 et d2 : MA/MB = -NA/NB.
En fait, il faudrait considérer le cas où MN est parallèle à d1 ou d2, voire aux deux (si d1//d2). Pour exprimer la conjuguaison d'une seule phrase dans tous les cas, il faut se placer dans le cadre de la géomètrie projective, ou considèrer des "points à l'infini" comme si c'était des points ordinaires.

Par rapport à un cercle

Soient un cercle Γ. Deux points M et N sont dits conjugués harmoniques par rapport à Γ pour exprimer le fait que M et N sont conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersections de MN avec Γ. MA/MB = -NA/NB.
En fait, il faudrait considérer le cas où MN ne coupe pas Γ. La définition précédente nécessiterait alors de considèrer des points d'intersection "imaginaires". C'est à dire de se placer dans ℂ² au lieu de ℝ². Alors par exemple le cercle x² + y² = 9 coupe la droite x = 5 en y = ±4i : 25 - 16 = 9 les points (5, ±4i) satisfont algèbriquement aux deux équations, mais ils ne sont pas "réels". Les points réels (5, ±4) sont conjugués harmoniques des points (5, ±4i) : 4² = (-4)² = (4i)×(-4i), où (5,0) est le milieu de (5, ±4)
Si on veut rester dans le cadre de la géomètrie euclidienne "classique", il faut utiliser la définition équivallente suivante :

Cercles orthogonaux

Deux cercles C et Γ sont orthogonaux s'ils se coupent "à angle droit", c'est à dire les tangentes au point d'intersection sont perpendiculaires.
Ceci équivaut à dire que la puissance de O par rapport à Γ est OT² = R² ou encore que si A et B sont les points d'intersection d'un diamètre MN de C avec Γ, OM² = ON² = R² = OA.OB, (ABMN) est une division harmonique, M et N sont conjugués par rapport à Γ.

Ceci permet d'étendre la définition de points conjugués, même si la droite MN ne coupe pas Γ :

Deux points M et N sont conjugués par rapport à Γ ssi le cercle de diamètre MN est orthogonal à Γ

Poles et polaires

Par rapport à deux droites

Considérons deux sécantes MAB et MA'B'. Soit N le conjugué de M par rapport à AB. La droite ON coupe MA'B' en N'. Prouvons que N' est le conjugué harmonique par rapport à A'B'.
Les parallèles à OM en N et N' coupent d1 et d2 en CD et C'D'.
Les triangles MOB et NDB étant semblables : MO/ND = MB/NB
Les triangles MOA et NCA étant semblables : MO/NC = MA/NA
Comme MB/NB = MA/NA, ND = NC et N est le milieu de CD.
L'homothétie de centre O implique alors N' milieu de C'D' et le même calcul en sens inverse avec les triangles MOB', N'D'B' et MOA', N'C'A' donne MB'/N'B' = MA'/N'A' et donc N' conjugué de M par rapport à A'B'.
En faisant varier la sécante MA'B' on obtient ainsi :

Le lieu des conjugués harmonique de M par rapport à d1,d2 est une droite :
La polaire de M par rapport aux droites d1 et d2

M étant le conjugué de N, OM est la polaire de N, et par conséquent une autre formulation :

Deux points M et N sont conjugués ssi l'un est sur la polaire de l'autre

Le faisceau des droites OM,ON,d1,d2 détermine ainsi sur toute sécante MN une division harmonique :
C'est un faisceau harmonique (la propriété ne dépend pas de la sécante, mais est une propriété intrinsèque du faisceau).

Construction de la polaire

La démonstration précédente donne une première construction :
Une parallèle à OA coupe d1 et d2 en C et D. Soit N le milieu de CD, la polaire de M est la droite ON.
Si d1//d2, O est "à l'infini" et OA est la parallèle à d1 et d2, C et D n'existent pas (sont "à l'infini") et cette construction là ne fonctionne plus.

Une autre construction, plus expéditive car se fait à la règle seulement :
Soient deux sécantes MAB et MA'B', N et N' les conjugués de M par rapport à AB et A'B'
Ils sont sur la polaire de M par rapport à d1 et d2. Soit I l'intersection de AB' et A'B. Si on considère les sécantes MAB et MA'B' coupant les droites IAB' et IA'B, N et N' sont sur la polaire de M par rapport aux droites IAB' et IA'B, polaire qui passe par I.
La droite NN' (polaire de M par rapport à d1 et d2) passe donc par I, c'est donc la droite OI, sans qu'il soit nécessaire de construire N ou N' au préalable.

Si d1//d2, cette construction fonctionne encore : la droite "OI" est la parallèle à d1 et d2 en I.
Pour éviter de construire la parallèle, on peut tracer une 3ème sécante pour obtenir de même un point J, la polaire étant alors la droite IJ, construite à la règle seule.

Par rapport à un cercle

Reprenant la définition :
"M et N conjugués ssi le cercle de diamètre MN est orthogonal à Γ",
ou en d'autre termes le milieu O de MN a la puissance OT² = OM² par rapport à Γ.
Le lieu de O est alors l'axe radical de Γ et du cercle-point (M) : lieu des points d'égale puissance par rapport à Γ et (M).
N est l'homothétique de centre M dans le rapport 2 de O.
Donc le lieu de N est une droite : la polaire de M.
Bien entendu, comme l'axe radical, elle est perpendiculaire à O'M.
Le "pied" H de la polaire est tel que O'U² = O'V² = O'X² = O'M.O'H.
Si M est extérieur au cercle, MX est donc tangente au cercle Γ (ce qui semble évident : A B N sont alors confondus en X)
Réciproquement M est sur la polaire de N, donc si M est intérieur au cercle, HX est tangente au cercle.

Ceci donne une construction de la polaire, en construisant les tangentes au cercle Γ issue de M (extérieur),
ou les tangentes à Γ en les points d'intersection avec la perpendiculaire à O'M en M (intérieur).

Considérons deux sécantes au cercle issues de M, coupant le cercle en AB et A'B'. Les conjugués de M étant N et N' par rapport à AB et A'B', ce sont aussi les conjugués de M par rapport aux droites AA' et BB', donc la polaire NN' de M par rapport au cercle Γ est aussi la polaire de M par rapport au droites AA' et BB'. Donc I est sur cette polaire.
Ce qui donne une construction à la règle de la polaire de M, en traçant trois sécantes.
Il en découle immédiatement une construction à la règle de la tangente issue de M au cercle, puisque les points de contact sont les intersections de la polaire et de Γ.

Exercice : construire à la règle seule la tangente en un point donné T de Γ
Indice

Réciproquement, considérons une droite PQ. Soit I l'intersection de la polaire de P et de la polaire de Q.
I est conjugué de P et conjugué de Q, donc PQ est la polaire de I.
I est appelé le pole de PQ. Le point conjugué de tous les points de PQ.

Généralisation

On peut définir la notion de poles et polaires de façon purement algèbrique, dans un plan projectif, par rapport à une conique quelconque.
Deux droites ou un cercle étant des cas particuliers de conique, éventuellement dégénérée.
Sans aller jusque là, une projection centrale transforme un cercle en conique et réciproquement. (considérer le cone coupé par un plan en un cercle, et par un autre en une conique quelconque). Les constructions "à la règle" des poles et polaires sont alors conservées dans cette projection et mettent en évidence les poles/polaires par rapport à une conique, ainsi que leur propriétés.