Théorème de La Hire

Considerons un plan mobile (π) et deux points D, E de ce plan.
Déplaçons ce plan en faisant glisser D et E le long de deux droites fixes quelconques Ox et Oy.
La propriété est : Pour tout point fixe F de (π), le lieu de F sur le plan (Oxy) est une ellipse : généralisation du théorème de La Hire.
Dans la suite, nous considérons le mouvement relatif de (π) et (Oxy), soit selon le point de vue de (π), c'est à dire (Oxy) se déplace par rapport à (π), soit du point de vue de (Oxy), c'est à dire (π) se déplace par rapport à (Oxy).

version animée dans le fichier Geogebra ;
les points rouges E et F définissent la forme du triangle, le point bleu Y l'inclinaison des axes, le point cyan déplace le triangle ou est animé.

Propriétés élémentaires

Définition affine de l'ellipse

Rappelons ici que l'ellipse est la transformée par affinité [orthogonale] d'un cercle.
C'est à dire le lieu du point M avec HM = k×HP, lorsque P parcourt le cercle.
Evident analytiquement : x² + y² = a² est transformée par y' = (b/a)y en x²/a² + y²/b² = 1.

Méthode de la bande de papier

Considérons une bande de papier DE glissant avec D et E sur deux droites perpendiculaires Ox et Oy.
Un point fixe M de cette bande décrit une ellipse.

Démonstration :
Soit OP // EM et OP = EM = constante, alors P parcourt un cercle de rayon EM.
HM/HP = HD/HO = MD/ME = constante.
Donc M parcourt l'ellipse transformée du cercle par affinité dans le rapport MD/ME.

Si M est extérieur au segment DE, la preuve reste valable :
HM/HP = HD/HO = MD/ME = constante.

(Fichier Geogebra : D₀ définit le rapport, P déplaçable et animé)

Généralisation du théorème de La Hire

Considerons le plan (π) contenant DE et un point F, se déplaçant par rapport au plan (Oxy), D glissant le long d'une ligne Ox et E le long d'une ligne Oy.
Du point de vue de (π), O se déplace avec l'angle DOE constant = xOy.
Donc O se déplace sur un cercle fixe dans (π), de centre I. Le point I est fixe dans (π) et OI = constante.
Maintenant, du point de vue de (Oxy), le point I trace un cercle (car OI = constante).

Il existe un point de (π) qui trace un cercle dans (Oxy).

Considérons le diamètre UV du cercle circonscrit à (ODE), passant par F (c'est à dire la droite IF). Ce diamètre est fixe dans (π).
L'angle UOD reste constant quand O parcours le cercle de (π), donc du point de vue de (Oxy), U parcours une ligne droite fixe Ou du plan (Oxy). De même V parcours une droite fixe Ov du plan (Oxy).
Comme UV est un diamètre, Ou est perpendiculaire à Ov.

Le déplacement de (π) est le même que celui défini par U et V glissant sur deux droites perpendiculaires Ou et Ov du plan fixe (Oxy)

Et comme F est un point fixe dans la droite UV, F trace une ellipse dans (Oxy) :
"Bande de papier" UVF.
Soit la généralisation du théorème de La Hire :

Lorsqu'un plan (π) se déplace, D et E de (π) glissant le long de deux droites quelconques Ox et Oy d'un plan fixe, alors tout point F de (π) trace une ellipse.

Noter que cette ellipse peut dégénérer en un cercle ou un segment de droite.
(Le théorème originel de La Hire est quand Ox est perpendiculaire à Oy)

Construction du lieu de F

(Même fichier Geogebra que le premier)
Tout d'abord construisons les axes de l'ellipse.

Choisissons une position quelconque de DEF avec D sur Ox, E sur Oy.
Par exemple avec E en O et DE le long de Ox.
Construisons le cercle circonscrit à ODE, de centre I.
Ici ODE es dégénéré, ce cercle est alors tangent en O à Oy,
et I est l'intersection de la médiatrice de DE et de la perpendiculaire en O à Oy.
La droite IF coupe ce cercle en U et V, U et F étant du même côté de I.
Les droites OU et OV sont les axes de l'ellipse, la droite OU étant le grand axe.

Comme OI = constante et IF = constante, la distance de O à F est maximale quand O, I et F sont alignés.
Cela donne le demi grand axe = OI + IF.
Le demi petit axe est |OI - IF|.

Sur OI traçons OS = OI+IF, et OT' = |OI-IF| à l'aide du cercle (I, IF).
Traçons le cercle de centre O de rayon OS. C'est le cercle principal de l'ellipse.
Le cercle de centre O de rayon OT' = OT est le cercle de diamètre le petit axe.

A partir de ces axes, il est aisé de construire l'ellipse, en utilisant l'affinité vue ci-dessus.
Au besoin, les autres propriétés de l'ellipse s'en déduisent (foyers, cercle directeur etc...)