Progression géomètrique - série géomètrique

Une progression géomètrique est obtenue en multipliant par une constante "a" le terme précédent :
Un+1 = aUn
"a" est appelé la "raison" de la progression géomètrique.
Par exemple en partant de 5 avec la raison 2 : 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560, 5120, ...

On a la formule donnant le n+1ème terme

Un = U0 x an
Dans l'exemple précédent, le 10ème terme est 5x29=5x512=2560.

La somme Sn des n+1 premiers termes ("série géomètrique") est obtenue en calculant Sn-aSn :
  U0+ U1 + U2+....+Un-2+ Un-1+ Un
        -aU0-aU1-....-aUn-3-aUn-2-aUn-1-aUn
=Sn(1-a)=U0-aUn=U0(1-an)

Sn = U0(1-an)/(1-a)

Application : somme des puissances de 3 :
C'est une progression géomètrique de raison 3, sa somme est Sn=(3n-1)/2.
Par exemple : 1+3+9+27+81+243+729+2187+6561+19683=(310-1)/2=(59049-1)/2=29524

Convergence

si |a|<1, Un+1<Un. Les termes sont décroissants et tendent vers 0. On peut s'intéresser à la convergence de cette série, c'est à dire de la suite des Sn quand n tend vers l'infini.
Lorsque |a|<1, |an| tend vers 0 et Sn tend vers

S = U0/(1-a)

Par exemple 1+1/2+1/4+1/8+...+1/2n tend vers 1/(1-1/2)=2

 

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