Progression géomètrique - série géomètrique

Une progression géomètrique est obtenue en multipliant par une constante "a" le terme précédent :
U_n+1 = aU_n
"a" est appelé la "raison" de la progression géomètrique.
Par exemple en partant de 5 avec la raison 2 : 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560, 5120, ...

On a la formule donnant le n+1^ème terme

U_n = U₀ x aⁿ
Dans l'exemple précédent, le 10^ème terme est 5x2⁹=5x512=2560.

La somme S_n des n+1 premiers termes ("série géomètrique") est obtenue en calculant S_n-aS_n :
  U₀+ U₁ + U₂+....+U_n-2+ U_n-1+ U_n
        -aU₀-aU₁-....-aU_n-3-aU_n-2-aU_n-1-aU_n
=S_n(1-a)=U₀-aU_n=U₀(1-aⁿ)

S_n = U₀(1-aⁿ)/(1-a)

Application : somme des puissances de 3 :
C'est une progression géomètrique de raison 3, sa somme est S_n=(3ⁿ-1)/2.
Par exemple : 1+3+9+27+81+243+729+2187+6561+19683=(3¹⁰-1)/2=(59049-1)/2=29524

Convergence

si |a|<1, U_n+1<U_n. Les termes sont décroissants et tendent vers 0. On peut s'intéresser à la convergence de cette série, c'est à dire de la suite des S_n quand n tend vers l'infini.
Lorsque |a|<1, |aⁿ| tend vers 0 et S_n tend vers

S = U₀/(1-a)

Par exemple 1+1/2+1/4+1/8+...+1/2ⁿ tend vers 1/(1-1/2)=2