Notions de géométrie projective

En fait de notions, juste quelques rappels de définitions en vrac et sans rigueur absolue.
La géométrie projective est axiommatiquement définie en termes d'espaces vectoriels.
Ici il s'agit d'un point de vue plus intuitif.

Droite projective

De façon intuitive, une droite ordinaire complètée par un "point à l'infini"

Plan projectif

De façon intuitive, un plan ordinaire complèté par un point à l'infini dans chaque direction de droite

Coordonnées homogènes

Un point sur une droite projective est repèré par (X,Y), Y=0 pour un "point à l'infini"
(X,Y) et (λX,λY), λ quelconque non nul représentant le même point.
Un point sur un plan projectif est repèré par (X,Y,Z) = (λX,λY,λZ).    Z=0 pour un "point à l'infini".
Z=0 est l'équation de la "droite de l'infini", ensemble de tous les "points à l'infini".

Dualité

Correspondance entre la droite projective aX + bY + cZ = 0 et le point projectif (a,b,c).

Birapport

Etant donnés 4 points A,B,C,D d'une droite projective, le birapport, noté (A,B,C,D) est le rapport des rapports : (AC/AD) / (BC/BD)
Un cas particulier est (A,B,C,D) = -1, division harmonique.

Homographie

Une transformation qui conserve les alignements de points et les birapports.
Peut être restreinte à une homographie entre deux droites projectives, d'une droite sur elle-même, ou par dualité entre faisceaux de droites.
Une homographie du plan est définie par la donnée des images des 4 points d'un quadrangle.
Une homographie entre droites projectives est définie par la donnée des images de 3 points distincts.

Axe d'une homographie

Etant donnée une homographie d'une droite (d) sur une droite (d') transformant M → M' et P → P',
les intersections de M∩P' et de M'∩P sont sur une droite fixe appelée axe de l'homographie.

Centre d'une homographie

Par dualité, une homographie entre deux faisceaux de droites A* → B* transformant une droite (p) de A* en (p') de B* et (q) → (q').
La droite joignant les points d'intersections (p)∩(q') et (p')∩(q) passe par un point fixe appelé centre de l'homographie.

Projections

Etant données deux droites (d) et (d') et un point S non situé sur ces droites.
Une projection (d) → (d') est l'application qui à tout point M de (d) fait correspondre le point M' de (d') avec SMM' alignés.
Une homographie entre deux droites (d) et (d') est d'une infinité de manières, le produit de deux projections.
Une homographie entre d et d' est une projection ssi le point d∩d' est transformé en lui-même.
On considère de même une projection d'un plan projectif sur un autre à partir d'un point S de l'espace.
Et par dualité, la projection d'un faisceau A* sur B* (le centre devenant alors l'axe de la projection).

Homologie

Une homographie ayant un point fixe P (centre de l'homologie) et une droite de points fixes (d) : axe de l'homologie.
Toute homographie est d'un infinité de manières le produit de deux homologies.
Une homographie h est une homologie ssi pour tout M la droite Mh(M) passe par un point fixe P.

Involution

Une transformation égale à son inverse h = h^-1, ou encore h² = I, l'identité.
Les involutions du plan projectif sont les homologies de birapport -1.
Le birapport d'une homologie est le birapport (O,I,M,M') où O est le centre de l'homologie, I l'intersection de la droite OM avec l'axe et M' ≠ M le transformé de M. Ce birapport ne dépend pas de M.

Complexifié

Le plan projectif réel peut être prolongé par des points à coordonnées dans ℂ, c'est à dire (X,Y,Z) dans ℂ³ au lieu de ℝ³.
Toute équation du second degré ayant alors exactement toujours deux racines, éventuelement confondues,
une droite quelconque coupe toujours une conique quelconque en deux points.