Triplets de Pythagore - Solution
Le théorème de Pythagore est bien connu :
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypothénuse.
La réciproque est aussi vraie : si dans un triangle la somme des carrés de deux côtés est égale au carré du troisième, ce triangle est rectangle.
On peut chercher les cas où les côtés sont des nombres entiers,
soit x² + y² = z² x,y,z ∈ N.
Le plus simple est 3² + 4² = 5² donnant "l'équerre à ficelle"
du problème.
De tels "triplets de Pythagore" étaient connus des Babyloniens, un millénaire avant Pythagore !
On peut les générer tous par les formules
|
x = 2krs
y = k|r² - s²| z = k(r² + s²) |
On les obtient en fait alors plusieurs fois. On peut se contenter des triangles dits "primitifs" c'est à dire PGCD(x,y,z)=1 : bien entendu si (x,y,z) est un triplet de Pythagore (kx,ky,kz) aussi On les obtient ceux-ci façon unique avec :
| k = 1, r > s > 0, PGCD(r,s) = 1, r et s de parité opposée |
On peut ainsi facilement obtenir des tables de triplets de Pythagore.
Les premiers sont :
(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) ...
Ce qui avec leurs multiples donne les solutions avec z ≤ 20 :
(3,4,5) (6,8,10) (5,12,13) (9,12,15) (8,15,17) (12,16,20)
Démonstrations et autres détails sur les triplets de Pythagore.
