L'explorateur - Détails (2)

Porteurs

La stratégie est :
A chaque étape, un porteur partage sa nourriture restante, gardant juste ce qu'il lui faut pour retourner au village.
Soit q la quantité transportée par un porteur. Considérons la n^ème étape avant l'arrivée, à la distance x_n du point de départ.
Il y a n porteurs, y compris l'explorateur, et la quantité de nourriture totale disponbible à cet instant est n×q
A la fin de l'étape, ils arrivent à la distance x_n-1 et ont consommé n(x_n-1 - x_n).
Ils partagent ce qui reste de sorte que les n-1 qui continuent emportent (n-1)q.
Le porteur qui revient doit emporter x_n-1.
Le bilan de cette étape est : n×q = n(x_n-1 - x_n) + x_n-1 + (n-1)q, soit q = (n+1)x_n-1 - nx_n = n(x_n-1 - x_n) + x_n-1
A l'étape suivante q = nx_n-2 - (n-1)x_n-1 = n(x_n-2 - x_n-1) + x_n-1
Donc x_n-2 - x_n-1 = x_n-1 - x_n = K. La durée d'une étape est constante !
A la première étape, x_N = 0, et q = K(N+1). Les étapes sont donc :
x_N = 0, x_N-1 = q/(N+1), x_N-2 = 2q/(N+1), ... x₁ = (N-1)q/(N+1).
La distance totale est D = x₁ + q (l'explorateur finit seul et ne revient pas) donc

Distance max avec N étapes : D = 2Nq/(N + 1)   Durée max de l'étape courante : K = q/(N + 1) = q - D/2   Nombre d'étapes : N = D/(2q - D)

N doit être un nombre entier, donc D est un multiple de 2q - D.
Sinon, choisir un D plus grand et il reste de la nourriture à l'arrivée.
Quand N tend vers l'infini, D tend vers 2q. Il est impossible d'aller plus loin que le double de l'autonomie d'une personne avec cette stratégie. Cette valeur limite nécessiterait même un nombre infini de porteurs.

Application : N = D/(2q - D) = 30/(40 - 30) = 3 étapes, donc 2 porteiurs plus l'explorateur.
Chaque étape avec porteur est K = q - D/2 = 20 - 30/2 = 5 jours

En résumé :
L'explorateur part avec 2 porteurs. Après 5 jours, il reste à chacun 15 jours de nourriture. Un porteur revient avec 5 jours de nourriture. Le reste, c'est à dire 40 jours, est partagé entre le second porteur et l'explorateur. Cinq jours plus tard, il reste à chacun 15 jours de nourriture. Le second porteur revient au village, emportant 10 jours et complète l'explorateur à 20 jours.

Un désert de 39 jours nécessiterait 39/(40 - 39) = 39 étapes, soit 38 porteurs, chacun retournant au village après une étape de 1/2 journée.

Pour avoir N, D et q entiers :
D = 2Nq/(N+1), donc N+1 doit être un diviseur de 2q et N>1, soit N+1>2
Pour q=20, N+1 est 4, 5, 8, 10, 20, 40 et N est uniquement 3, 4, 7, 9, 19 ou 39, conduisant à D = 30, 32, 35, 36, 38, 39