Nombres chiffrés II

12² + 33² = 1233

Trouver tous les nombres de 4 chiffres ayant cette propriété, les nombres de 6 chiffres ?

x² + y² = 100x + y, et 10 ≤ {x, y} <100, soit
x² - 100x + y² - y = 0, en multipliant par 4 :
4x² - 400x + 4y² - 4y = 0, en complètant les carrés :
(2x - 100)² - 100² + (2y - 1)² - 1 = 0, ou encore :
(2x - 100)² + (2y - 1)² = 10001

On cherche alors à écrire 10001 comme somme de deux carrés, l'un est pair (2x - 100), l'autre impair (2y - 1).
Les seules possibilités sont : 10001 = 1² + 100² = 65² + 76²
Ce qui donne :

• 2x - 100 = ±100, 2y - 1 = ±1
  soit y = 0 ou 1 et x = 0 ou 100, sans intérêt ou rejetée (10 ≤ {x, y} < 100)
• 2x - 100 = ±76, 2y - 1 = ±65
  D'où les solutions x = 50 ± 38 et y = 33

Les seules solutions valables (10 ≤ {x, y} <100) sont donc 8833 et 1233

Il faut aussi examiner les possibilités où les deux tranches ont des largeurs inégales :
x² + y² = 10x + y, et 100≤x<1000, 0≤y<10
x² + y² = 1000x + y, et 1≤x<10, 100≤y<1000
Mais il est évident que x≥100 donne x² + y² ≥ x² ≥ 10000 et de même pour y≥100

Nombres à 6 chiffres

soit x² + y² = 1000x + y
La même méthode donne

(2x - 1000)² + (2y - 1)² = 1000001
Soit 1² + 1000² et 199² + 980², et les deux seules solutions envisageables 2x - 1000 = ±980, 2y - 1 = ±199, soit x = 010 ou 990, y = 100

soit une seule solution valide 990² + 100² = 990100

L'impossibilité de solutions dissymétriques comme ci dessus :
x ou y ≥ 1000 donnerait x² + y² ≥ 1000000

Nombres à 10 chiffres

10¹⁰+1 = 101×3541×27961 = 1² + 100000² = 19801² + 98020² = 76249² + 64700² = 87551² + 48320²
et les solutions à examiner sont plus nombreuses :

• 2x - 100000 = ±100000, 2y - 1 = ±1 bien entendu rejetée
• 2x - 100000 = ±98020, 2y - 1 = ±19801 soit x = 99010 ou 01980, y = 09901 rejetée
• 2x - 100000 = ±64700, 2y - 1 = ±76249 soit x = 17650 ou 82350, y = 38125

  17650² + 38125² = 1765038125, 82350² + 38125² = 8235038125

• 2x - 100000 = ±48320, 2y - 1 = ±87551 soit x = 25840 ou 74160, y = 43776

  25840² + 43776² = 2584043776, 74160² + 43776² = 7416043776

soit 4 solutions.

L'impossibilité de solutions dissymétriques comme ci dessus :
x ou y ≥ 1000000 donnerait x² + y² ≥ 10¹² > 10¹⁰