Ce nombre est son carré - Solutions

Avec un chiffre on a 0² = 0, 1² = 1, 5² = 25 = 5 modulo 10, 6² = 36 = 6 modulo 10.
Ce sont les seules solutions à un chiffre

Soit N de n chiffres tels que N² = N modulo 10ⁿ avec n≥1.
Ajoutons un chiffre x à gauche de N pour former le nombre de n+1 chiffres x.10ⁿ + N
Ce nombre aura la propriété voulue si (x.10ⁿ + N)² = x.10ⁿ + N modulo 10ⁿ⁺¹,
c'est à dire : x²10²ⁿ + 2xN.10ⁿ + N² = x.10ⁿ + N modulo 10ⁿ⁺¹

Comme 10²ⁿ = 0 modulo 10ⁿ⁺¹ dès que n≥1, le premier terme ne compte pas modulo 10ⁿ⁺¹.
Soit a le chiffre des unités de N, c'est à dire que N = a modulo 10, alors 2xN.10ⁿ = 2ax.10ⁿ modulo 10ⁿ⁺¹
Soit y le chiffre suivant de N² c'est à dire N² = r.10ⁿ⁺¹ + y.10ⁿ + N, puisque N² = N modulo 10ⁿ
soit N² = y.10ⁿ + N modulo 10ⁿ⁺¹, et : (x.10ⁿ + N)² = 2ax.10ⁿ + y.10ⁿ + N modulo 10ⁿ⁺¹
Le nouveau nombre de n+1 chiffres aura la propriété voulue si 2ax.10ⁿ + y.10ⁿ = x.10ⁿ modulo 10ⁿ⁺¹ soit :
2ax + y = x modulo 10, c'est à dire x(1-2a) = y modulo 10

Si a=0 on a x = y, ceci donne avec comme point de départ 0, 00, x = y = 0, certes peu intéressant : 000, 0000...sont les seules solutions se terminant par 0.

Avec a=1 x+y = 0 modulo 10, le point de départ 1, 01 donne y = 0 et donc x = 0 soit 001, 0001... même remarque.

a=5 donne -9x = y modulo 10 soit x = y modulo 10. Le départ 5 donne 5² = 25 y=2 x=2 puis 25² = 625, y = 6
puis 625² = 390625 donne y = 0 soit 0625, 0625² = 390625, y = 9 soit 90625 et de proche en proche :
90625² = ...890625, 890625² = ...2890625, 2890625 ² = ...12890625 et finalement le "nombre infini à gauche" :

A=...38509890062166509580863811000557423423230896109004106619977392256259918212890625

qui résume toutes les solutions se terminant par 5, il suffit de prendre les n derniers chiffres.

Le cas a=6 donne -11x = y modulo 10 soit x+y = 0 modulo 10.
Le départ 6, donne 6² = 36 y = 3 donc x = 7 puis 76² = 5776, y = 7 et x = 3, 376² = 141376 y = 1 x = 9,
9376² = 87909376 y = 0 x= 0, 09376² = 87909376 y = 9 x= 1, 109376² = ...3109376 et finalement :

B=...61490109937833490419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109376

qui résume toutes les solutions se terminant par 6, il suffit de prendre les n derniers chiffres.

Remarques :

1. Il n'y a donc pas d'autres solutions.
2. A+B = ...0000000000001,
   Les chiffres a et b de même rang dans A et B, sauf le chiffre des unités, sont tels que a+b = 9
   A×B = 0
   (A-B)² = A² - 2A×B + B² = A + B = 1 :
   A-B = 2A - 1 et -(A-B) = 2B - 1 sont des solutions non triviales de X² = 1 : carré se terminant par 000...001
3. Les résultats précédents peuvent être obtenus plus élégamment avec la théorie des nombres décadiques en cherchant les nombres décadiques solutions de X² = X
   Une étude particulièrement détaillé sur le site d'A. Pichereau.
4. on a aussi :

   nk = 52k mod 10k et 62k mod 10k

   Et la formule de récurrence permettant de doubler le nombre de chiffres :

   n2k = 3n²k - 2n³k