On cherche ici m = h + k, avec k un nombre entier relatif (dans Z).
C'est à dire même angle, à un nombre entier de tours près.
Soit t = t/12 + k ou encore t = 12×k/11
Soit 11 positions puisque la 12ème, k = 11, donne h = 12 est identique à h = 0.
Donc 11 fois en 12 heures
La première fois est au temps t = 12/11 (correspondant à k = 1)
soit 1 h 5 mn 27 s et 27.2727... 100èmes
puis toutes les 1 h 5 mn 27 s et 27.2727... 100èmes.
On peut de la même façon obtenir les 22 valeurs où les aiguilles font un angle ± θ donné
Ceci entraîne 11×t/12 = e/3 + k1 et 719×t/12 = -e/3 + k2 d'où k1 + k2 = 365×t/6
La seule chose que l'on peut dire est que 365×t = 6×(k1 + k2) est un entier.
11×t/12 = e/3 + k1 s'écrit 11×t = 12×k1 + 4×e.
Donc 11×t est aussi un entier.
Et donc t = 166×(11×t) - 5×(365×t) aussi.
Cette formule miracle est obtenue en résolvant 11×u + 365×v = 1
dont une solution est u = 166, v = -5 (Algorithme d'Euclide)
Comme 365×t/6 = k1 + k2 est un entier avec t entier, t est multiple de 6 :
0 ou 6 puisque la position 12 h et les multiples suivant donne des positions identiques.
Bien entendu à t = 0 et t = 6 les aiguilles ne font pas un angle de 120 degrés !
Il est impossible d'avoir 120 degré entre chaque aiguille
Dans un cadre pratique, on peut chercher des "presques solutions".
Si on ne regarde que les heures/minutes, on a donc :
11×t/12 = e/3 + k ou encore : t = 12×k/11 ± 4/11.
Soit t = 4/11, 8/11, 16/11, 20/11, 24/11 ... 128/11.
t = 4/11 = 00:21:49.0909... à t ≈ 0:21:41, c'est à dire un peu avant, les angles ne sont pas exacts, mais peu s'en faut.
t = 8/11 = 00:43:38.1818... à t ≈ 00:43:23, idem.
t = 16/11 = 01:27:16.3636... donne t ≈ 01:27:47
etc...
L'erreur varie selon les positions, elle n'est jamais nulle
(i.e. le probleme exact est impossible).
Pour que les aiguilles des heures et minutes soient superposées :
t = 12k/11 pour k entier.
A cet instant l'aiguille des secondes est en avance de 60*12k/11 - 12k/11 = 4k/11 à un tour près.
Si on restreint cet angle à l'intervalle ]-1/2, +1/2],
la valeur absolue minimum de l'écart avec l'aiguille des secondes est 1/11,
plus petite valeur possible pour un multiple de 1/11.
Ceci a lieu pour k = 3 et k = 8 modulo 11
(solution de 4k = ±1 modulo 11).
Nous devons donc amener l'angle des secondes entre l'angle des heures et des minutes.
(l'angle heures minutes n'est plus nul, en changeant t de 12k/11 à 12k/11 + ε)
Le meilleur résultat est obtenu quand l'aiguille des secondes coïncide avec celle des heures :
Si les secondes sont en retard il faut avancer de ε et les minutes deviennent en avance,
si les secondes sont en avance, il faut retarder de ε et les minutes retardent.
On doit donc avoir : 60ε - ε/12 = ± 1/11 ou ε = ± 12/(719*11)
L'écart minimum des aiguilles est alors à :
k=3 : t = 36/11 - 12/7909 = 25872/7909 = 03:16:16.3560 ...
et k=8 : t = 96/11 + 12/7909 = 69036/7909 = 08:43:43.6439 ... |
Naturellement modulo 12 heures, donc aussi :
t = 12:00:00, écart = 0
t = 15:16:16.3560 ...
et t = 20:43:43.6439 ...
L'écart est alors m - h = ε - ε/12 = 11ε/12 = 1/719 de tour soit 0.500695...°