L'horloge - solution

On considère ici une pendule exacte, avec des aiguilles des heures, minutes, secondes, sans saccades.

angle heures = minutes

Prenons comme unité de temps l'heure et comme unité d'angle le tour.
La position angulaire de l'aiguille des heures est alors h = t/12.
La position de l'aiguille des minutes m = t,
et celle des secondes s = 60×t.

On cherche ici m = h + k, avec k un nombre entier relatif (dans Z). C'est à dire même angle, à un nombre entier de tours près.
Soit t = t/12 + k ou encore  t = 12×k/11 
Soit 11 positions puisque la 12^ème, k = 11, donne h = 12 est identique à h = 0.
Donc  11 fois en 12 heures 
La première fois est au temps t = 12/11 (correspondant à k = 1) soit  1 h 5 mn 27 s et 27.2727... 100^èmes 
puis toutes les 1 h 5 mn 27 s et 27.2727... 100^èmes.

angle heures - minutes = 90 deg

Il faut cette fois m = h ± 1/4 + k C'est à dire que l'aiguille des minutes est en avance ou en retard de 1/4 de tour, à un nombre entier de tours près.
Soit t = t/12 ± 1/4 + k ou encore  t = 12×k/11 ± 3/11 
Là aussi il y a 11 valeurs de k avec + 3/11, et aussi 11 valeurs avec - 3/11.
Soit  22 fois en 12 heures 
La première fois est à t = 3/11 =  0 h 16 mn 21 s et 81.8181... 100^èmes 
La suivante à t = 12/11 - 3/11 = 9/11 = 0 h 49 mn 05 s et 45.4545... 100^èmes
puis deux fois toutes les 1 h 5 mn 27 s et 27.2727... 100^èmes.

On peut de la même façon obtenir les 22 valeurs où les aiguilles font un angle ± θ donné

angle heures - minutes - secondes = 120 deg

On veut obtenir :
m = h + e/3 + k1 et s = h - e/3 + k2 avec e = 1 ou -1 et k1 et k2 entiers relatifs.
C'est à dire que l'aiguille des minutes fait avec l'aiguille des heures un angle de ± 1/3 tour.
L'aiguille des secondes étant de l'autre coté avec aussi 1/3 tour, ceci à un nombre entier de tours près.

Ceci entraîne 11×t/12 = e/3 + k1 et 719×t/12 = -e/3 + k2 d'où k1 + k2 = 365×t/6

La seule chose que l'on peut dire est que 365×t = 6×(k1 + k2) est un entier.
11×t/12 = e/3 + k1 s'écrit 11×t = 12×k1 + 4×e.
Donc 11×t est aussi un entier. Et donc t = 166×(11×t) - 5×(365×t) aussi.
Cette formule miracle est obtenue en résolvant 11×u + 365×v = 1 dont une solution est u = 166, v = -5 (Algorithme d'Euclide)

Comme 365×t/6 = k1 + k2 est un entier avec t entier, t est multiple de 6 :
0 ou 6 puisque la position 12 h et les multiples suivant donne des positions identiques.
Bien entendu à t = 0 et t = 6 les aiguilles ne font pas un angle de 120 degrés !

 Il est impossible d'avoir 120 degré entre chaque aiguille 

Dans un cadre pratique, on peut chercher des "presques solutions".
Si on ne regarde que les heures/minutes, on a donc :

11×t/12 = e/3 + k ou encore : t = 12×k/11 ± 4/11.
Soit t = 4/11, 8/11, 16/11, 20/11, 24/11 ... 128/11.

t = 4/11 = 00:21:49.0909... à t ≈ 0:21:41, c'est à dire un peu avant, les angles ne sont pas exacts, mais peu s'en faut.

t = 8/11 = 00:43:38.1818... à t ≈ 00:43:23, idem.

t = 16/11 = 01:27:16.3636... donne t ≈ 01:27:47

etc...
L'erreur varie selon les positions, elle n'est jamais nulle (i.e. le probleme exact est impossible).

angle heures - minutes - secondes = minimum

rappelons avec nos notations :
angle des heures : h = t/12
angle des minutes : m = t
angle des secondes : s = 60t

Pour que les aiguilles des heures et minutes soient superposées : t = 12k/11 pour k entier.
A cet instant l'aiguille des secondes est en avance de 60*12k/11 - 12k/11 = 4k/11 à un tour près.
Si on restreint cet angle à l'intervalle ]-1/2, +1/2], la valeur absolue minimum de l'écart avec l'aiguille des secondes est 1/11, plus petite valeur possible pour un multiple de 1/11.
Ceci a lieu pour k = 3 et k = 8 modulo 11 (solution de 4k = ±1 modulo 11).

Nous devons donc amener l'angle des secondes entre l'angle des heures et des minutes.
(l'angle heures minutes n'est plus nul, en changeant t de 12k/11 à 12k/11 + ε)
Le meilleur résultat est obtenu quand l'aiguille des secondes coïncide avec celle des heures :
Si les secondes sont en retard il faut avancer de ε et les minutes deviennent en avance,
si les secondes sont en avance, il faut retarder de ε et les minutes retardent.

On doit donc avoir : 60ε - ε/12 = ± 1/11 ou ε = ± 12/(719*11)

L'écart minimum des aiguilles est alors à :

k=3 : t = 36/11 - 12/7909 = 25872/7909 = 03:16:16.3560 ... et k=8 : t = 96/11 + 12/7909 = 69036/7909 = 08:43:43.6439 ...

Naturellement modulo 12 heures, donc aussi :
t = 12:00:00, écart = 0
t = 15:16:16.3560 ...
et t = 20:43:43.6439 ...

L'écart est alors m - h = ε - ε/12 = 11ε/12 =  1/719  de tour soit 0.500695...°