Ce nombre est son cube

Combien y a-t-il de nombres de 30 chiffres dont le cube se termine par eux même ?

X³ = X mod 10ⁿ s'écrit X³ - X = X(X-1)(X+1) = 0 mod (2ⁿ×5ⁿ)
au plus deux de x, x-1, x+1 sont pairs,
si x impair, x-1 et x+1 sont multiples de 2^p et 2^q avec p+q ≥ n
Leur PGCD divise leur différence 2, et donc min(p,q) ≤ 1.
Donc 5 cas de divisibilité par 2ⁿ :

• x-1 = 0 mod 2ⁿ
• x-1 = 2^(n-1) mod 2ⁿ (et x+1 pair)
• x = 0 mod 2ⁿ, x-1 et x+1 impairs
• x+1 = 0 mod 2ⁿ
• x+1 = 2^(n-1) mod 2ⁿ (et x-1 pair)

Ceci si n>2 car sinon, il n'y a que 2 cas pour n=1 et 3 cas pour n=2.

Un et un seul de x, x-1, x+1 est multiple de 5 donc de 5ⁿ et donc 3 cas.
Au total il y a au plus

3×2 = 6 solutions si n=1   3×3 = 9 solutions si n=2   3×5 = 15 solutions si n>2

Remarquons tout d'abord que si a est solution de X³ = X mod 10ⁿ, -a est aussi solution.

(a+5×10^(n-1))³ = a³ + 15×a²×10^(n-1) + 75a×10^(2n-2) + 125×10^(3n-3)
Si 2n-2 et 3n-3 ≥ n soit n ≥ 2, (a+5×10^(n-1))³ = a + 5a²×10^(n-1) modulo 10ⁿ
Si a impair a² impair et 5a²×10^(n-1) = 5×10^(n-1) modulo 10ⁿ et donc (a+5×10^(n-1))³ = a+5×10^(n-1) mod 10ⁿ, soit :

Si a impair est solution de X3 = X mod 10n et n>1, a+5×10(n-1) est solution

Nous allons maintenant relier ces solutions aux solutions de X² = X mod 10ⁿ
   si a² = a, a³ = a×a² = a×a = a² = a
   si a² = 1, a³ = a×a² = a×1 = a

Si a est solution de X2 = X mod 10n, a est solution de X3 = X   Si a est solution de X2 = 1 mod 10n, a est solution de X3 = X

On connaît de l'énoncé ou du problème des carrés automorphes les solutions non triviales de X² = X :
soit par exemple A = 893380022607743740081787109376 en se limitant à 30 chiffres.

Tout d'abord si A est solution, (1-A)² = 1 + A² - 2A = 1 + A - 2A = 1-A est solution
et A(1-A) = A - A² = A - A = 0
enfin (A - (1-A))² = A² - 2A(1-A) + (1-A)² = A - 0 + (1 - A) = 1
donc B = A - (1-A) = 2A - 1 est une solution non triviale de X² = 1

On obtient alors 15 solutions de X³ = X :

0  ±1,  ±1+5.10n-1   ±A (pair)  ±B = ±(2A-1),  ±B+5.10n-1   ±(1-A),  ±(1-A)+5.10n-1

Comme on sait qu'il y a au plus 15 solutions de X³ = X, on les a toutes si elles sont différentes.
Pour n=1 il n'y a que 6 solutions : 0,1,4,5,6,9
Pour n=2 il n'y a que 9 solutions : 0,1,51,-1=99,49, A=76, -A=24, B=51 et ses variantes est déjà compté, 1-A=25 et 75
Pour n≥3 les deux derniers chiffres des solutions sont les 2 derniers chiffres de :
...00
...01 et son +5.10^n-1
-1 = ...99 et son +5.10^n-1
A = ...76
-A = ...24
B = 2A-1 = ...51 et son +5.10^n-1
-B = ...49 et son +5.10^n-1
1-A = ...25 et son +5.10^n-1
-(1-A) = ...75 et son +5.10^n-1
Donc les 15 solutions sont différentes et il n'y en a pas d'autres.

Finalement les 15 solutions sur 30 chiffres :

0     1  et 500000000000000000000000000001   -1 =  999999999999999999999999999999  et 499999999999999999999999999999   A =  893380022607743740081787109376    -A =  106619977392256259918212890624    B = 2A-1 =  786760045215487480163574218751  et 286760045215487480163574218751   -B =  213239954784512519836425781249  et 713239954784512519836425781249   1-A =  106619977392256259918212890625  et 606619977392256259918212890625   -(1-A) =  893380022607743740081787109375  et 393380022607743740081787109375

Il n'est pas plus difficile d'obtenir les 15 solutions à 80 chiffres à partir de
A = ...61490109937833490419136188999442576576769103890995893380022607743740081787109376