Deux carrés

On remarque que 15² = 225 et 35² = 1225, on a juste ajouté un un devant.
Autres carrés ayant cette propriété.

C'est à dire a² = b² + 10ⁿ, n étant le nombre de chiffres de b², soit 10^n-1 ≤ b < 10ⁿ.
Cela donne immédiatement a² - b² = (a + b)(a - b) = 10ⁿ = p×q
Soient p = a + b et q = a - b deux diviseurs complémentairs quelconques de 10ⁿ alors une solution est a = (p + q)/2, b = (p - q)/2
Cette solution est entière si p et q de même parité, donc tous deux pairs, et p > q.
Comme chacun de p et q est de la forme 2ⁱ5^j, cela impose i≥1 pour p et q, et donc n≥2.
Bien entendu, si a,b est une solution, 10a, 10b aussi au rang n+2.
On se limite ainsi à a, b non divisibles par 10.
Si p n'est pas divisible par 5, ceci est impossible car p ≤ 2^n-1 < 2×5ⁿ ≤ q
Supposons q non divisible par 5, c'est à dire p = 2ⁱ5ⁿ et q = 2^n-i, 1≤i<n, alors b = (p - q)/2 = 2^i-15ⁿ - 2^n-i-1
b² = 2^2i-25²ⁿ + 2^2n-2i-2 - 2^n-15ⁿ > 5²ⁿ - 10ⁿ/2 > 10ⁿ pour tout n≥1
Ceci est rejeté car on veut b² < 10ⁿ
Donc p et q sont multiples de 5, et 1≤j<n. Par conséquent  a et b multiples de 5 

Un programme balayant les diviseurs p = 2ⁱ5^j, q = 10ⁿ/p, 1≤i≤n/2, 1≤j<n, puis testant si a = (p+q)/2, b = |p-q|/2 conviennent :
b non divisible par 10 et 10^n-1 ≤ b < 10ⁿ, donne alors en moins d'une seconde les solutions :

35² = 1225,    15² = 225
125² = 15625,    75² = 5625
3925² = 15405625,    2325² = 5405625
11125² = 123765625,    4875² = 23765625
110125² = 12127515625,    46125² = 2127515625
398125² = 158503515625,    241875² = 58503515625
12325625² = 151921031640625,    7205625² = 51921031640625
35365625² = 1250727431640625,    15834375² = 250727431640625
etc...

Si on laisse tomber la condition 10^n-1 ≤ b, on autorise des 0 à gauche de b² :

325² = 105625,    75² = 05625
1025² = 1050625,    225² = 050625
31625² = 1000140625,    375² = 000140625
etc...

Avec un 1 après

C'est à dire a² = 10b² + 1, en d'autre termes a² - 10b² = 1, équation de Pell dont les solutions sont trouvées comme d'hab.
La plus petite solution est a₁ = 19, b₁ = 6 : 19² = 361, 6² = 36
Les suivantes par récurrence :
a_i+1 = 19a_i + 60b_i et b_i+1 = 6a_i + 19b_i

721² = 519841,    228² = 51984
27379² = 749609641,    8658² = 74960964
1039681² = 1080936581761,    328776² = 108093658176
etc...

Autres chiffres avant

a² - b² = (a + b)(a - b) = c.10ⁿ
La même méthode donne

c = 2	15² = 225,   5² = 25 165² = 27225,   85² = 7225 525² = 275625,   275² = 75625 4725² = 22325625,   1525² = 2325625 ...
c = 3	185² = 34225,   65² = 4225 575² = 330625,   175² = 30625 1825² = 3330625,   575² = 330625 5875² = 34515625,   2125² = 4515625 ...
c = 4	7² = 49,   3² = 9 65² = 4225,   15² = 225 205² = 42025,   45² = 2025 2225² = 4950625,   975² = 950625 22025² = 485100625,   9225² = 85100625 ...
c = 5	75² = 5625,   25² = 625 23625² = 558140625,   7625² = 58140625 ...
c = 6	8² = 64,   2² = 4 25² = 625,   5² = 25 7925² = 62805625,   1675² = 2805625 25225² = 636300625,   6025² = 36300625 25375² = 643890625,   6625² = 43890625 ...
c = 7	85² = 7225,   15² = 225 275² = 75625,   75² = 5625 8725² = 76125625,   2475² = 6125625 26825² = 719580625,   4425² = 19580625 ...
c = 8	9² = 81,   1² = 1 285² = 81225,   35² = 1225 945² = 893025,   305² = 93025 ...
c = 9	305² = 93025,   55² = 3025 985² = 970225,   265² = 70225 975² = 950625,   225² = 50625 3075² = 9455625,   675² = 455625 3125² = 9765625,   875² = 765625 9625² = 92640625,   1625² = 2640625 ...

Limitées à b <10000.

Autres chiffres après

L'équation de Pell généralisée a² - 10b² = c n'a pas forcément de solutions.
Lorsqu'elle en a, une infinité se déduit avec les relations de récurrence :
a_i+1 = 19a_i + 60b_i et b_i+1 = 6a_i + 19b_i

Les solutions sont à chercher avec b ≤ 6√c/40
En tout état de cause, c doit être un carré modulo 5 et donc c = {1,4,5,6,9}

c = 5 ne donne aucune solution.
c = 4 ou 9 = k² admettent la solution évidente a = k, b = 0, et donc la première "utile" (19k, 6k)
reste c = 6 pour laquelle on trouve sans aucune difficulté (0≤b≤2) la solution a = 4, b = 1 (16 - 10 = 6)
Finalement :

c=4	38² = 1444,   12² = 144 721² = 519841,    228² ...
c=6	4² = 16,    1² = 1 136 = 18496,   43² = 18496 ...
c=9	57² = 3249,   18² = 324 2163² = 4678569,    684² = 467856 ...