Apollonius PDC
Construction des cercles tangents à une droite et un cercle donnés et passant par un point donné.Le cercle est défi par les points C et D
A est le point donné.
La perpendiculaire en C à la droite donnée (d) coupe le cercle en D et E, et la droite en F.
La droite DA coupe (d) en M.
Le cercle circonscrit à EFA recoupe DA en P.
Construire la tangente MT au cercle (EFA) et reporter MU = MV = MT sur (d).
Les perpendiculaires en U et V à (d) coupent la médiatrice de AP en O et O', centres des cercles cherchés.
La même construction est répétée en échangeant D et E.
Il y a seulement deux solutions si le cercle coupe la droite.
Sinon 0 ou 4 solutions selon la position de A et du cercle par rapport à la droite
(pas de solution si la droite ne coupe pas le cercle et si A et le cercle sont de part et d'autre de la droite).
Si une tangente issue de A au cercle est parallèle à la droite donnée,
un des cercles dégénère en cette tangente.
La construction de ce cercle-droite devient très imprécise dans l'applet ci-dessus.
AC perpendiculaire à d
Lorsque AC est perpendiculaire à la droite donnée, la construction précédente échoue car le cercle circonscrit à ADF ou AEF est la droite ACDEF elle-même.En reprenant l'étude théorique, le point P est défini comme DP.DA = DE.DF, ce qui se construit par Thalès.
Le cercle passant par A et P et tangent à (d) se construit alors par des méthodes élémentaires.
Par D, on trace une droite quelconque sur laquelle on reporte des segments DA' et DF' proportionnels à DA et DF.
La parallèle à EA' en F' coupe la droite DE en P.
DP/DE = DF'/DA' = DF/DA.
La médiatrice de AP, à distance m de la droite (d), coupe le cercle de
centre A de rayon m en O et O', centres des cercles cherchés.
La construction est répétée en échangeant D et E.
