Problèmes d'Apollonius

Le point équidistant des 3 cercles est le centre d'un 4ème cercle tangent aux trois autres. Posé ainsi il y a dans le cas général 8 solutions.
Une seule (les cercles sont extérieurs) satisfait aux besoins des scouts.

Le problème général posé par Apollonius est alors :
Trouver un cercle tangent à trois objets donnés, ces objets étant des points, droites ou cercles. Il y a dix cas de choix des objets. Le cas le plus difficile étant celui de trois cercles.

Les solutions d'Apollonius à ces dix problèmes ont été perdues mais retrouvées par divers mathématiciens.
Le cas général a été résolu entre autres par Gergonne.

Nous ne donnerons pas la solution de Gergonne qui bien qu'élégante est trop difficile à démontrer, (voir sur ce site - En), mais des solutions élémentaires pour chacun des dix cas.

3 points (PPP) évident : cercle circonscrit

PPD

Soit P l'intersection de AB avec la droite.
PA.PB = PM² donne le point de contact M de (d) avec le cercle cherché, et la construction :
Tracer le cercle de diamètre AP, la perpendiculaire en B à AB coupe ce cercle en N, PN² = PA.PB et PM = PN. La médiatrice de AB et la perpendiculaire en M à (d) se coupent au centre du cercle cherché, de rayon OA = OB = OM.
La deuxième solution est obtenue avec M' de l'autre côté de P.

Si AB est parallèle à (d), M est directement l'intersection de (d) et de la médiatrice de AB.
Animation (Geogebra).

PPC

Soit un cercle quelconque passant par A et B (centré sur la médiatrice de AB) et coupant le cercle donné (C) en M et N. MN coupe AB en P. Soit PT une tangente à (C) issue de P : PA.PB = PM.PN = PT² donc PT est tangente au cercle cherché et T est le point de contct des deux cercles.
Le centre est l'intersection des médiatrices de AB et de AT.
Les deux solutions proviennent des deux tangentes à (C).
Animation (Geogebra).

PDD

La solution en est bien connue :
Tracer un cercle quelconque tangent aux deux droites, centré sur la bissectice.
OA coupe ce cercle en I et J.
Les parallèles en A à PI et PJ coupent la bissectrice en M et M', centres des cercles homothétiques du cercle choisi et passant par A, donc solutions.
Animation (Geogebra).

PDC

Ramenons ce cas au cas PPD en cherchant un second point du cercle.
Soit DE un diamètre _|_ (d), coupant (d) en F.
Le point de contact S est centre d'homothétie des deux cercles, et donc DSB alignés, ESB = 90° et EFBS est inscriptible.
Donc DE.DF = DS.DB = DA.DP et les points EFAP sont cocycliques, d'où la construction du second point P du cercle cherché :
Intersection de DA avec le cercle circonscrit à EFA.

DA coupe (d) en M : MA.MP = MB² = MT² et donc la construction de B, puis du cercle cherché de centre l'intersection de la médiatrice de AP et de la perpendiculaire à (d) en B.

Les deux autres solutions sont obtenues en échangeant le rôle de D et E.
Animation Geogebra

PCC

Là aussi on se ramène au cas PPC en cherchant un autre point sur le cercle.
Soit S un centre d'homothétie des cercles donnés. Les points de contact C et D étant centres d'homothétie de ces cercles et du cercle cherché, S, C, D sont alignés.
Considérons l'inversion de pole S qui échange les deux cercles donnés.
Elle échange aussi les deux points de contact et conserve donc le cercle cherché.
Le point A est transformé en P et SA.SP = SC.SD = SE.SF
AEFP sont donc cocyclique d'où la construction du point P, intersection de SA avec le cercle circonscrit à EFA.
Ce cercle coupe le cercle (C1) en N et EN coupe SA en M.
Les tangentes à (C1) issues de M donnent les points de contact avec (C1).

Les deux autres solutions sont obtenues à partir des point S' et E'.

Animation Geogebra

DDD facile : cercles inscrits/exinscrits, soit 4 solutions

DDC

Soit R le rayon du cercle donné et r celui du cercle cherché.
Un cercle concentrique au cercle cherché et de rayon r - R passe par P et est tangent aux droites Ox Oy à distance R des droites données. On est ainsi ramené au cas PDD. Les deux autres solutions sont obtenues en changeant R en -R.

Et éventuellement doublées en changeant aussi r en -r, ce qui équivaut à choisir indépendamment les directions de déplacement des deux droites.
Animation Geogebra

DCC

La même technique ramène au cas PDC, dont le nombre de solution est doublé en changeant R en -R
Animation Geogebra.

CCC

Et ici ramène au cas PCC. Même remarque.

Les cercles C₁ et C₂ sont transformés en cercles concentriques C'₁ et C'₂ de rayons R₁ - R₃ et R₂ - R₃.
Le cercle de rayon R₃ devient son centre A.
La construction PCC est alors appliquée avec A, C'₁ et C'₂. Ce qui donne le centre O du cercle cherché Γ.
Une deuxième solution est obtenue avec l'autre tangente issue de M.
Le changement de R₃ en -R₃ indépendamment pour les cercles C'₁ et C'₂ (associé au changement du point S en l'autre centre d'homothétie de C'₁ et C'₂) donne 3 autres constructions et les 6 autres solutions.
Animation Geogebra. Incluant la construction générale de Gergonne.

Noter aussi des cas particuliers selon la disposition des 3 objets.
Par exemple si les 3 cercles sont tangents : cercles de Soddy et formule de Descartes

Calcul des rayons

Soit (x, y) les coordonnées du centre du cercle cherché de rayon R.
(x₁, y₁) celles du cercle de rayon R₁
(x₂, y₂) celle du cercle de rayon R₂
(x₃, y₃) celles du cercle de rayon R₃

Distance du centre au centre du premier cercle : (R + R₁)² = (x - x₁)² + (y - y₁)² ou
x² + y² - R² = 2x.x₁ + 2y.y₁ + 2R₁R + R₁² - x₁² - y₁²   [1]
On obtient de même deux autres équations [2] et [3] avec les deux autres cercles, toutes ces équations étant de la forme x² + y² - R² = A.x + B.y + C.R + D on peut donc éliminer x² + y² - R² entre ces équations et obtenir un système linéaire de deux équations en x et y, R étant considèré comme paramètre.
En résolvant on obtient x = P.R + Q, y = S.R + T que l'on porte dans une des équations d'origine pour obtenir une équation du second degré en R. Nous n'expliciterons pas d'avantage les calculs, quand même un peu pénibles.

En fait les équations choisies correspondent à quatre cercles tangents extérieurement. Pour obtenir les cercles tangents intérieurement, il suffit de remplacer R_i par -R_i soit 2³ = 8 possibilités d'équations.
L'équation du second degré donne deux solutions ce qui fait 16 solutions, mais identiques deux à deux.
En fait avec les 8 possibilités de signes des R_i, il suffit de ne choisir qu'une des solutions de l'équation du second degré (celle avec +√ par exemple) pour obtenir les 8 solutions.

Un script pour effectuer les calculs.